Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -3tg(x)+6x-1,5pi+5

Gráfico de la función y = -3tg(x)+6x-1,5pi+5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                         3*pi    
f(x) = -3*tan(x) + 6*x - ---- + 5
                          2
f(x)=((6x−3tan⁡(x))−3π2)+5f{\left(x \right)} = \left(\left(6 x - 3 \tan{\left(x \right)}\right) - \frac{3 \pi}{2}\right) + 5 
f = 6*x - 3*tan(x) - 3*pi/2 + 5
Gráfico de la función
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.05-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((6x−3tan⁡(x))−3π2)+5=0\left(\left(6 x - 3 \tan{\left(x \right)}\right) - \frac{3 \pi}{2}\right) + 5 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−0.0961679027967665x_{1} = -0.0961679027967665
x2=−1.14219421468648x_{2} = -1.14219421468648
x3=1.18573345368751x_{3} = 1.18573345368751
x4=4.60534867249648x_{4} = 4.60534867249648
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -3*tan(x) + 6*x - 3*pi/2 + 5.
(−3π2+(−3tan⁡(0)+0⋅6))+5\left(- \frac{3 \pi}{2} + \left(- 3 \tan{\left(0 \right)} + 0 \cdot 6\right)\right) + 5
Resultado:
f(0)=5−3π2f{\left(0 \right)} = 5 - \frac{3 \pi}{2}
Punto:
(0, 5 - 3*pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3−3tan⁡2(x)=03 - 3 \tan^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi            
(----, 8 - 3*pi)
  4             

 pi    
(--, 2)
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
[−π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−6(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)=0- 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(((6x−3tan⁡(x))−3π2)+5)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(6 x - 3 \tan{\left(x \right)}\right) - \frac{3 \pi}{2}\right) + 5\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(((6x−3tan⁡(x))−3π2)+5)y = \lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(6 x - 3 \tan{\left(x \right)}\right) - \frac{3 \pi}{2}\right) + 5\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -3*tan(x) + 6*x - 3*pi/2 + 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(((6x−3tan⁡(x))−3π2)+5x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(6 x - 3 \tan{\left(x \right)}\right) - \frac{3 \pi}{2}\right) + 5}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(((6x−3tan⁡(x))−3π2)+5x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(6 x - 3 \tan{\left(x \right)}\right) - \frac{3 \pi}{2}\right) + 5}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((6x−3tan⁡(x))−3π2)+5=−6x+3tan⁡(x)−3π2+5\left(\left(6 x - 3 \tan{\left(x \right)}\right) - \frac{3 \pi}{2}\right) + 5 = - 6 x + 3 \tan{\left(x \right)} - \frac{3 \pi}{2} + 5
- No
((6x−3tan⁡(x))−3π2)+5=6x−3tan⁡(x)−5+3π2\left(\left(6 x - 3 \tan{\left(x \right)}\right) - \frac{3 \pi}{2}\right) + 5 = 6 x - 3 \tan{\left(x \right)} - 5 + \frac{3 \pi}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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