Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\sqrt[3]{6} \sqrt[3]{\left(x - 4\right) \left(x^{2} - 16 x + 64\right)} \left(18 x - \frac{6 \left(x - 8\right) \left(x^{2} - 16 x + 2 \left(x - 8\right) \left(x - 4\right) + 64\right)}{x^{2} - 16 x + 64} - 120 - \frac{3 \left(x^{2} - 16 x + 2 \left(x - 8\right) \left(x - 4\right) + 64\right)}{x - 4} + \frac{\left(x^{2} - 16 x + 2 \left(x - 8\right) \left(x - 4\right) + 64\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x^{2} - 16 x + 64\right)}\right)}{9 \left(x - 4\right) \left(x^{2} - 16 x + 64\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 39992.8618544964$$
$$x_{2} = 27274.0606945659$$
$$x_{3} = 37449.3600120529$$
$$x_{4} = 25577.8626136599$$
$$x_{5} = -17611.4502907585$$
$$x_{6} = 28122.1147534077$$
$$x_{7} = -34574.6010096488$$
$$x_{8} = -19308.6330453785$$
$$x_{9} = 18791.2707861397$$
$$x_{10} = 26425.9776155204$$
$$x_{11} = -32878.797200256$$
$$x_{12} = 21336.6746430103$$
$$x_{13} = 29818.1457617256$$
$$x_{14} = -24398.5448366456$$
$$x_{15} = 38297.2041675084$$
$$x_{16} = 34905.7573350276$$
$$x_{17} = 23033.2905915771$$
$$x_{18} = 30666.1269955589$$
$$x_{19} = -32030.87177339$$
$$x_{20} = -37118.2051654192$$
$$x_{21} = 39145.037893086$$
$$x_{22} = 36601.504699078$$
$$x_{23} = 34057.8634470628$$
$$x_{24} = 17942.6382592493$$
$$x_{25} = 35753.6374316378$$
$$x_{26} = -35422.4816345435$$
$$x_{27} = -27790.9523215575$$
$$x_{28} = 32362.0299418477$$
$$x_{29} = -29486.9852554942$$
$$x_{30} = -39661.7082123538$$
$$x_{31} = -30334.9673338783$$
$$x_{32} = -41357.3299167454$$
$$x_{33} = 31514.0878526672$$
$$x_{34} = -28638.9809265426$$
$$x_{35} = 20488.2786853583$$
$$x_{36} = 33209.9547068602$$
$$x_{37} = -42205.1283639003$$
$$x_{38} = 24729.7123858323$$
$$x_{39} = 22185.0096880416$$
$$x_{40} = 23881.5231567674$$
$$x_{41} = -20157.1007864655$$
$$x_{42} = 19639.8138652991$$
$$x_{43} = 28970.142353052$$
$$x_{44} = -43052.9191901229$$
$$x_{45} = -31182.9289678989$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[32362.0299418477, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -42205.1283639003\right]$$