Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{5 \left(4 - \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)}^{3}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e^{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1, e^{4}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[e^{4}, \infty\right)$$