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Trazado el gráfico de la función/ (1-cosz/)(z*(z-1))

Gráfico de la función y = (1-cosz/)(z*(z-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(z) = (1 - cos(z))*z*(z - 1)
f(z)=z(z−1)(1−cos⁡(z))f{\left(z \right)} = z \left(z - 1\right) \left(1 - \cos{\left(z \right)}\right) 
f = (z*(z - 1))*(1 - cos(z))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010400-200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
z(z−1)(1−cos⁡(z))=0z \left(z - 1\right) \left(1 - \cos{\left(z \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:

Solución analítica
z1=0z_{1} = 0
z2=1z_{2} = 1
Solución numérica
z1=−37.6991118773966z_{1} = -37.6991118773966
z2=50.26548244635z_{2} = 50.26548244635
z3=6.28318528461937z_{3} = 6.28318528461937
z4=0z_{4} = 0
z5=43.9822971695016z_{5} = 43.9822971695016
z6=94.2477796093524z_{6} = 94.2477796093524
z7=−6.28318514925851z_{7} = -6.28318514925851
z8=1z_{8} = 1
z9=−31.4159265841998z_{9} = -31.4159265841998
z10=−43.9822971745974z_{10} = -43.9822971745974
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando z es igual a 0:
sustituimos z = 0 en (1 - cos(z))*(z*(z - 1)).
(−1)0(1−cos⁡(0))\left(-1\right) 0 \left(1 - \cos{\left(0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddzf(z)=0\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddzf(z)=\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} =
primera derivada
z(z−1)sin⁡(z)+(1−cos⁡(z))(2z−1)=0z \left(z - 1\right) \sin{\left(z \right)} + \left(1 - \cos{\left(z \right)}\right) \left(2 z - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dz2f(z)=0\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dz2f(z)=\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} =
segunda derivada
z(z−1)cos⁡(z)+2(2z−1)sin⁡(z)−2cos⁡(z)+2=0z \left(z - 1\right) \cos{\left(z \right)} + 2 \left(2 z - 1\right) \sin{\left(z \right)} - 2 \cos{\left(z \right)} + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
z1=−58.1881397678902z_{1} = -58.1881397678902
z2=36.2384122152916z_{2} = 36.2384122152916
z3=−61.3251807497084z_{3} = -61.3251807497084
z4=−5.2977838940059z_{4} = -5.2977838940059
z5=48.7765767115051z_{5} = 48.7765767115051
z6=67.603367225501z_{6} = 67.603367225501
z7=17.5047523684329z_{7} = 17.5047523684329
z8=42.5054310008132z_{8} = 42.5054310008132
z9=80.1604865100088z_{9} = 80.1604865100088
z10=11.3391843094165z_{10} = 11.3391843094165
z11=99.0005585850349z_{11} = 99.0005585850349
z12=−26.8518355730348z_{12} = -26.8518355730348
z13=0z_{13} = 0
z14=2.96262008759556z_{14} = 2.96262008759556
z15=−45.6405967630826z_{15} = -45.6405967630826
z16=−64.464649676656z_{16} = -64.464649676656
z17=−124.12487104562z_{17} = -124.12487104562
z18=8.36902745888145z_{18} = 8.36902745888145
z19=33.1108983455767z_{19} = 33.1108983455767
z20=−42.5032842836875z_{20} = -42.5032842836875
z21=−86.4395238128539z_{21} = -86.4395238128539
z22=77.0216065575883z_{22} = 77.0216065575883
z23=−92.719647476553z_{23} = -92.719647476553
z24=55.050451439495z_{24} = 55.050451439495
z25=−77.0209250278353z_{25} = -77.0209250278353
z26=−73.8808136084701z_{26} = -73.8808136084701
z27=−80.159873004951z_{27} = -80.159873004951
z28=86.4400520491554z_{28} = 86.4400520491554
z29=−29.9738172371501z_{29} = -29.9738172371501
z30=95.8607275054178z_{30} = 95.8607275054178
z31=−99.000155121353z_{31} = -99.000155121353
z32=58.1893367986386z_{32} = 58.1893367986386
z33=70.7431490939608z_{33} = 70.7431490939608
z34=45.6425467136227z_{34} = 45.6425467136227
z35=−48.7749387180784z_{35} = -48.7749387180784
z36=−70.7423406341102z_{36} = -70.7423406341102
z37=−33.107183821346z_{37} = -33.107183821346
z38=23.7295001418395z_{38} = 23.7295001418395
z39=0.491376343682643z_{39} = 0.491376343682643
z40=51.9147419028124z_{40} = 51.9147419028124
z41=−39.371290757943z_{41} = -39.371290757943
z42=−8.3151400497469z_{42} = -8.3151400497469
z43=39.373914357031z_{43} = 39.373914357031
z44=−17.4929232022982z_{44} = -17.4929232022982
z45=−2.71289766542571z_{45} = -2.71289766542571
z46=64.465624059272z_{46} = 64.465624059272
z47=−89.5800250294686z_{47} = -89.5800250294686
z48=−83.3002015310501z_{48} = -83.3002015310501
z49=83.300783808711z_{49} = 83.300783808711
z50=14.4299183997612z_{50} = 14.4299183997612
z51=−11.3132553947197z_{51} = -11.3132553947197
z52=26.8574851773111z_{52} = 26.8574851773111
z53=29.9780599454844z_{53} = 29.9780599454844
z54=−36.2354787394051z_{54} = -36.2354787394051
z55=73.8815347948469z_{55} = 73.8815347948469
z56=−23.7228444043321z_{56} = -23.7228444043321
z57=89.5805282402166z_{57} = 89.5805282402166
z58=−67.6025073576017z_{58} = -67.6025073576017
z59=−95.8602882969492z_{59} = -95.8602882969492
z60=61.326223421958z_{60} = 61.326223421958
z61=5.37932133107065z_{61} = 5.37932133107065
z62=−14.4105899058383z_{62} = -14.4105899058383
z63=−55.04916098149z_{63} = -55.04916098149
z64=20.6225155374891z_{64} = 20.6225155374891
z65=92.720107046927z_{65} = 92.720107046927
z66=−20.6129478764254z_{66} = -20.6129478764254
z67=−51.9132364412918z_{67} = -51.9132364412918

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[99.0005585850349,∞)\left[99.0005585850349, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−95.8602882969492]\left(-\infty, -95.8602882969492\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
lim⁡z→−∞(z(z−1)(1−cos⁡(z)))=⟨0,∞⟩\lim_{z \to -\infty}\left(z \left(z - 1\right) \left(1 - \cos{\left(z \right)}\right)\right) = \left\langle 0, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,∞⟩y = \left\langle 0, \infty\right\rangle
lim⁡z→∞(z(z−1)(1−cos⁡(z)))=⟨0,∞⟩\lim_{z \to \infty}\left(z \left(z - 1\right) \left(1 - \cos{\left(z \right)}\right)\right) = \left\langle 0, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,∞⟩y = \left\langle 0, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - cos(z))*(z*(z - 1)), dividida por z con z->+oo y z ->-oo
lim⁡z→−∞((1−cos⁡(z))(z−1))=⟨−∞,0⟩\lim_{z \to -\infty}\left(\left(1 - \cos{\left(z \right)}\right) \left(z - 1\right)\right) = \left\langle -\infty, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−∞,0⟩zy = \left\langle -\infty, 0\right\rangle z
lim⁡z→∞((1−cos⁡(z))(z−1))=⟨0,∞⟩\lim_{z \to \infty}\left(\left(1 - \cos{\left(z \right)}\right) \left(z - 1\right)\right) = \left\langle 0, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨0,∞⟩zy = \left\langle 0, \infty\right\rangle z
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
z(z−1)(1−cos⁡(z))=−z(1−cos⁡(z))(−z−1)z \left(z - 1\right) \left(1 - \cos{\left(z \right)}\right) = - z \left(1 - \cos{\left(z \right)}\right) \left(- z - 1\right)
- No
z(z−1)(1−cos⁡(z))=z(1−cos⁡(z))(−z−1)z \left(z - 1\right) \left(1 - \cos{\left(z \right)}\right) = z \left(1 - \cos{\left(z \right)}\right) \left(- z - 1\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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