Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ e^x(3x-2)

Gráfico de la función y = e^x(3x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x          
f(x) = E *(3*x - 2)
f(x)=ex(3x−2)f{\left(x \right)} = e^{x} \left(3 x - 2\right) 
f = E^x*(3*x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5000001000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex(3x−2)=0e^{x} \left(3 x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=23x_{1} = \frac{2}{3}
Solución numérica
x1=−99.1129702373688x_{1} = -99.1129702373688
x2=−89.1443206737185x_{2} = -89.1443206737185
x3=−115.075521502585x_{3} = -115.075521502585
x4=−93.1308460704414x_{4} = -93.1308460704414
x5=−85.1592829693701x_{5} = -85.1592829693701
x6=−109.088112065455x_{6} = -109.088112065455
x7=−55.3620231908952x_{7} = -55.3620231908952
x8=−69.2403883171591x_{8} = -69.2403883171591
x9=−79.1851071365103x_{9} = -79.1851071365103
x10=−105.097411341968x_{10} = -105.097411341968
x11=−95.1245987222972x_{11} = -95.1245987222972
x12=−121.064320449409x_{12} = -121.064320449409
x13=−63.2841519899326x_{13} = -63.2841519899326
x14=−117.071645250855x_{14} = -117.071645250855
x15=−83.1674016224932x_{15} = -83.1674016224932
x16=−81.1759952740524x_{16} = -81.1759952740524
x17=−43.5582322955384x_{17} = -43.5582322955384
x18=−101.107549832626x_{18} = -101.107549832626
x19=−57.3398835157501x_{19} = -57.3398835157501
x20=−111.083745139886x_{20} = -111.083745139886
x21=−37.7337304809536x_{21} = -37.7337304809536
x22=−113.079551672306x_{22} = -113.079551672306
x23=−97.1186469679149x_{23} = -97.1186469679149
x24=−59.3196829709084x_{24} = -59.3196829709084
x25=−67.25389556895x_{25} = -67.25389556895
x26=−49.4434089675347x_{26} = -49.4434089675347
x27=−91.1374116955046x_{27} = -91.1374116955046
x28=0.666666666666667x_{28} = 0.666666666666667
x29=0.666666666666667x_{29} = 0.666666666666667
x30=−39.6656471145088x_{30} = -39.6656471145088
x31=−61.3011745681735x_{31} = -61.3011745681735
x32=−53.3864003698496x_{32} = -53.3864003698496
x33=−65.2684414714834x_{33} = -65.2684414714834
x34=−103.102368718653x_{34} = -103.102368718653
x35=−32.0414939061154x_{35} = -32.0414939061154
x36=−47.4770515744307x_{36} = -47.4770515744307
x37=−35.8153769830079x_{37} = -35.8153769830079
x38=−45.5150196040209x_{38} = -45.5150196040209
x39=−41.6078988464092x_{39} = -41.6078988464092
x40=−33.9154157658719x_{40} = -33.9154157658719
x41=−77.1947858639725x_{41} = -77.1947858639725
x42=−51.4133791639507x_{42} = -51.4133791639507
x43=−107.092663472522x_{43} = -107.092663472522
x44=−71.227811426291x_{44} = -71.227811426291
x45=−87.1516008001375x_{45} = -87.1516008001375
x46=−75.2050864428328x_{46} = -75.2050864428328
x47=−73.2160712646037x_{47} = -73.2160712646037
x48=−119.067914243843x_{48} = -119.067914243843
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^x*(3*x - 2).
e0(−2+0⋅3)e^{0} \left(-2 + 0 \cdot 3\right)
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(3x−2)ex+3ex=0\left(3 x - 2\right) e^{x} + 3 e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
Signos de extremos en los puntos:
           -1/3 
(-1/3, -3*e    )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−13,∞)\left[- \frac{1}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−13]\left(-\infty, - \frac{1}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(3x+4)ex=0\left(3 x + 4\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−43x_{1} = - \frac{4}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−43,∞)\left[- \frac{4}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−43]\left(-\infty, - \frac{4}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex(3x−2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \left(3 x - 2\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex(3x−2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \left(3 x - 2\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^x*(3*x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((3x−2)exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x - 2\right) e^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((3x−2)exx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x - 2\right) e^{x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex(3x−2)=(−3x−2)e−xe^{x} \left(3 x - 2\right) = \left(- 3 x - 2\right) e^{- x}
- No
ex(3x−2)=−(−3x−2)e−xe^{x} \left(3 x - 2\right) = - \left(- 3 x - 2\right) e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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