Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
y=(x+1)^3
2*x^2-6*x
y=5x
y=4^x
Gráfico de la función y = 2×sinx+sin2x
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = 2*sin(x) + sin(2*x)
$$f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$$
f = 2*sin(x) + sin(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 28.2742362262029$$
$$x_{2} = -9.42485173622935$$
$$x_{3} = 81.6814089933346$$
$$x_{4} = -43.9822971502571$$
$$x_{5} = -100.530964914873$$
$$x_{6} = 28.2743275355147$$
$$x_{7} = -59.6902757594272$$
$$x_{8} = -28.2742611423571$$
$$x_{9} = -31.4159265358979$$
$$x_{10} = 56.5486677646163$$
$$x_{11} = -56.5486677646163$$
$$x_{12} = 12.5663706143592$$
$$x_{13} = 43.9822971502571$$
$$x_{14} = -15.7079741551755$$
$$x_{15} = -53.4071523808127$$
$$x_{16} = 100.530964914873$$
$$x_{17} = -21.9911516405744$$
$$x_{18} = 15.7080397066029$$
$$x_{19} = 72.2566368440238$$
$$x_{20} = -97.3894529845737$$
$$x_{21} = -15.7080226365019$$
$$x_{22} = -65.9734547074718$$
$$x_{23} = 6.28318530717959$$
$$x_{24} = 59.6903404916682$$
$$x_{25} = -87.9645943005142$$
$$x_{26} = 87.9645943005142$$
$$x_{27} = 18.8495559215388$$
$$x_{28} = -25.1327412287183$$
$$x_{29} = 37.6991118430775$$
$$x_{30} = 0$$
$$x_{31} = 65.9735385828884$$
$$x_{32} = -6.28318530717959$$
$$x_{33} = 50.2654824574367$$
$$x_{34} = 34.557448949744$$
$$x_{35} = 75.398223686155$$
$$x_{36} = -72.2565620594227$$
$$x_{37} = -1083.8495084391$$
$$x_{38} = -69.1150383789755$$
$$x_{39} = 21.9911516419074$$
$$x_{40} = 94.2477796076938$$
$$x_{41} = -50.2654824574367$$
$$x_{42} = -59.6902836920888$$
$$x_{43} = -37.6991118430775$$
$$x_{44} = -81.6814089933346$$
$$x_{45} = 62.8318530717959$$
$$x_{46} = 72.2566292957295$$
$$x_{47} = 31.4159265358979$$
$$x_{48} = 78.5397496778866$$
$$x_{49} = -75.398223686155$$
$$x_{50} = -12.5663706143592$$
$$x_{51} = 65.9734548161256$$
$$x_{52} = -94.2477796076938$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 28.2742362262029$$
$$x_{2} = -9.42485173622935$$
$$x_{3} = 81.6814089933346$$
$$x_{4} = -43.9822971502571$$
$$x_{5} = -100.530964914873$$
$$x_{6} = 28.2743275355147$$
$$x_{7} = -59.6902757594272$$
$$x_{8} = -28.2742611423571$$
$$x_{9} = -31.4159265358979$$
$$x_{10} = 56.5486677646163$$
$$x_{11} = -56.5486677646163$$
$$x_{12} = 12.5663706143592$$
$$x_{13} = 43.9822971502571$$
$$x_{14} = -15.7079741551755$$
$$x_{15} = -53.4071523808127$$
$$x_{16} = 100.530964914873$$
$$x_{17} = -21.9911516405744$$
$$x_{18} = 15.7080397066029$$
$$x_{19} = 72.2566368440238$$
$$x_{20} = -97.3894529845737$$
$$x_{21} = -15.7080226365019$$
$$x_{22} = -65.9734547074718$$
$$x_{23} = 6.28318530717959$$
$$x_{24} = 59.6903404916682$$
$$x_{25} = -87.9645943005142$$
$$x_{26} = 87.9645943005142$$
$$x_{27} = 18.8495559215388$$
$$x_{28} = -25.1327412287183$$
$$x_{29} = 37.6991118430775$$
$$x_{30} = 0$$
$$x_{31} = 65.9735385828884$$
$$x_{32} = -6.28318530717959$$
$$x_{33} = 50.2654824574367$$
$$x_{34} = 34.557448949744$$
$$x_{35} = 75.398223686155$$
$$x_{36} = -72.2565620594227$$
$$x_{37} = -1083.8495084391$$
$$x_{38} = -69.1150383789755$$
$$x_{39} = 21.9911516419074$$
$$x_{40} = 94.2477796076938$$
$$x_{41} = -50.2654824574367$$
$$x_{42} = -59.6902836920888$$
$$x_{43} = -37.6991118430775$$
$$x_{44} = -81.6814089933346$$
$$x_{45} = 62.8318530717959$$
$$x_{46} = 72.2566292957295$$
$$x_{47} = 31.4159265358979$$
$$x_{48} = 78.5397496778866$$
$$x_{49} = -75.398223686155$$
$$x_{50} = -12.5663706143592$$
$$x_{51} = 65.9734548161256$$
$$x_{52} = -94.2477796076938$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{5} = \pi$$
$$x_{6} = \frac{5 \pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{5} = \pi$$
$$x_{6} = \frac{5 \pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
___ -5*pi 3*\/ 3 (-----, -------) 3 2
(-pi, 0)
___ -pi -3*\/ 3 (----, --------) 3 2
___ pi 3*\/ 3 (--, -------) 3 2
(pi, 0)
___ 5*pi -3*\/ 3 (----, --------) 3 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, 0\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, 0\right] \cup \left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -3, 3\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(x) + sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}$$
- No
$$2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Pues, comprobamos:
$$2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}$$
- No
$$2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$$
- Sí
es decir, función
es
impar