Sr Examen

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lnx/(x^2-4)
Trazado el gráfico de la función/ lnx/(x^2-4)

Gráfico de la función y = lnx/(x^2-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x)
f(x) = ------
        2    
       x  - 4
f(x)=log⁡(x)x2−4f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} - 4} 
f = log(x)/(x^2 - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)x2−4=0\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/(x^2 - 4).
log⁡(0)−4+02\frac{\log{\left(0 \right)}}{-4 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2xlog⁡(x)(x2−4)2+1x(x2−4)=0- \frac{2 x \log{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x^{2} - 4\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=24666.8241690397x_{1} = 24666.8241690397
x2=34482.9810233512x_{2} = 34482.9810233512
x3=40966.8757686479x_{3} = 40966.8757686479
x4=54902.1664697822x_{4} = 54902.1664697822
x5=49558.022123018x_{5} = 49558.022123018
x6=30135.9048959505x_{6} = 30135.9048959505
x7=52766.5975165909x_{7} = 52766.5975165909
x8=46342.6766027539x_{8} = 46342.6766027539
x9=53834.7173677424x_{9} = 53834.7173677424
x10=25764.275212872x_{10} = 25764.275212872
x11=51697.7882720933x_{11} = 51697.7882720933
x12=32312.1979229268x_{12} = 32312.1979229268
x13=45269.2797088645x_{13} = 45269.2797088645
x14=39888.9111314681x_{14} = 39888.9111314681
x15=29045.510587705x_{15} = 29045.510587705
x16=33398.2451254389x_{16} = 33398.2451254389
x17=43119.9017855219x_{17} = 43119.9017855219
x18=38809.9295150403x_{18} = 38809.9295150403
x19=47415.2490557485x_{19} = 47415.2490557485
x20=37729.8906707852x_{20} = 37729.8906707852
x21=31224.7747637072x_{21} = 31224.7747637072
x22=35566.4649086754x_{22} = 35566.4649086754
x23=50628.2700242969x_{23} = 50628.2700242969
x24=36648.7513390844x_{24} = 36648.7513390844
x25=42043.8609605247x_{25} = 42043.8609605247
x26=55968.9625688743x_{26} = 55968.9625688743
x27=26859.7962639357x_{27} = 26859.7962639357
x28=27953.5060708748x_{28} = 27953.5060708748
x29=48487.0227955759x_{29} = 48487.0227955759
x30=44195.0310940206x_{30} = 44195.0310940206
Signos de extremos en los puntos:
(24666.824169039704, 1.66212141114317e-8)

(34482.98102335115, 8.78684069501187e-9)

(40966.875768647915, 6.32819795468509e-9)

(54902.166469782154, 3.62057419517023e-9)

(49558.022123018, 4.40183640009118e-9)

(30135.90489595054, 1.13562892975332e-8)

(52766.597516590926, 3.90531900883372e-9)

(46342.67660275391, 5.00260760337084e-9)

(53834.717367742414, 3.75880238900835e-9)

(25764.275212871962, 1.53009591308796e-8)

(51697.78827209328, 4.06081019175141e-9)

(32312.197922926756, 9.9448496986747e-9)

(45269.279708864495, 5.23122224486485e-9)

(39888.911131468056, 6.6580891725471e-9)

(29045.51058770498, 1.21812606432925e-8)

(33398.245125438894, 9.33822772828579e-9)

(43119.90178552191, 5.73957463760923e-9)

(38809.929515040305, 7.01524158247822e-9)

(47415.249055748514, 4.78901841598371e-9)

(37729.890670785244, 7.4027941060186e-9)

(31224.774763707162, 1.06144716233201e-8)

(35566.464908675436, 8.28409379426954e-9)

(50628.27002429694, 4.22603526799436e-9)

(36648.75133908439, 7.82435582679818e-9)

(42043.860960524704, 6.02282713821446e-9)

(55968.96256887425, 3.49001313294398e-9)

(26859.796263935685, 1.41359830197118e-8)

(27953.506070874842, 1.31025308370408e-8)

(48487.02279557589, 4.58914974421846e-9)

(44195.03109402062, 5.47632778495007e-9)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4x2x2−4−1)log⁡(x)x2−4−4x2−4−1x2x2−4=0\frac{\frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4451.85250174092x_{1} = 4451.85250174092
x2=11927.7661155864x_{2} = 11927.7661155864
x3=10651.3442211907x_{3} = 10651.3442211907
x4=9627.49523781849x_{4} = 9627.49523781849
x5=9371.11003874882x_{5} = 9371.11003874882
x6=8343.66618016056x_{6} = 8343.66618016056
x7=6795.7475357483x_{7} = 6795.7475357483
x8=6017.9843830757x_{8} = 6017.9843830757
x9=5236.97169917462x_{9} = 5236.97169917462
x10=9114.54235733877x_{10} = 9114.54235733877
x11=10139.7456889502x_{11} = 10139.7456889502
x12=10906.9130550002x_{12} = 10906.9130550002
x13=4189.01701723001x_{13} = 4189.01701723001
x14=4714.08567798604x_{14} = 4714.08567798604
x15=2593.65138210296x_{15} = 2593.65138210296
x16=7312.74314005163x_{16} = 7312.74314005163
x17=5758.04283309907x_{17} = 5758.04283309907
x18=11417.6149890598x_{18} = 11417.6149890598
x19=11672.7572692018x_{19} = 11672.7572692018
x20=12437.3992041738x_{20} = 12437.3992041738
x21=12946.5436314672x_{21} = 12946.5436314672
x22=6277.56705971293x_{22} = 6277.56705971293
x23=6536.81447631036x_{23} = 6536.81447631036
x24=12692.0307829455x_{24} = 12692.0307829455
x25=7828.68126770062x_{25} = 7828.68126770062
x26=7570.83740644113x_{26} = 7570.83740644113
x27=3129.914274895x_{27} = 3129.914274895
x28=7054.384860934x_{28} = 7054.384860934
x29=9883.70494852997x_{29} = 9883.70494852997
x30=11162.3350691942x_{30} = 11162.3350691942
x31=3661.23429539754x_{31} = 3661.23429539754
x32=12182.6455052799x_{32} = 12182.6455052799
x33=10395.6235471032x_{33} = 10395.6235471032
x34=8086.28709490353x_{34} = 8086.28709490353
x35=8600.82886881721x_{35} = 8600.82886881721
x36=3925.50730960159x_{36} = 3925.50730960159
x37=8857.78467114778x_{37} = 8857.78467114778
x38=13200.9409718465x_{38} = 13200.9409718465
x39=5497.71554309112x_{39} = 5497.71554309112
x40=2862.52621868487x_{40} = 2862.52621868487
x41=3396.08530308659x_{41} = 3396.08530308659
x42=4975.77564106317x_{42} = 4975.77564106317
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2

lim⁡x→−2−(2(4x2x2−4−1)log⁡(x)x2−4−4x2−4−1x2x2−4)=∞sign⁡(0.346573590279973+0.5iπ)\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{\frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(0.346573590279973 + 0.5 i \pi \right)}
lim⁡x→−2+(2(4x2x2−4−1)log⁡(x)x2−4−4x2−4−1x2x2−4)=−∞sign⁡(0.346573590279973+0.5iπ)\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(0.346573590279973 + 0.5 i \pi \right)}
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(2(4x2x2−4−1)log⁡(x)x2−4−4x2−4−1x2x2−4)=−∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = -\infty
lim⁡x→2+(2(4x2x2−4−1)log⁡(x)x2−4−4x2−4−1x2x2−4)=∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x2−4)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} - 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x)x2−4)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} - 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/(x^2 - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x(x2−4))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)x(x2−4))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)x2−4=log⁡(−x)x2−4\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} - 4} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2} - 4}
- No
log⁡(x)x2−4=−log⁡(−x)x2−4\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2} - 4} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2} - 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = lnx/(x^2-4)
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