Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x(2x-1)/(2x-2)

Gráfico de la función y = x(2x-1)/(2x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x*(2*x - 1)
f(x) = -----------
         2*x - 2
f(x)=x(2x−1)2x−2f{\left(x \right)} = \frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2} 
f = (x*(2*x - 1))/(2*x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(2x−1)2x−2=0\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=0.5x_{2} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*(2*x - 1))/(2*x - 2).
0(−1+0⋅2)−2+0⋅2\frac{0 \left(-1 + 0 \cdot 2\right)}{-2 + 0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(2x−1)(2x−2)2+4x−12x−2=0- \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{\left(2 x - 2\right)^{2}} + \frac{4 x - 1}{2 x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1−22x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}
x2=22+1x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1
Signos de extremos en los puntos:
                               /      ___\  
               ___ /      ___\ |    \/ 2 |  
       ___  -\/ 2 *\1 - \/ 2 /*|1 - -----|  
     \/ 2                      \      2  /  
(1 - -----, -------------------------------)
       2                   2                

                              /      ___\ 
              ___ /      ___\ |    \/ 2 | 
       ___  \/ 2 *\1 + \/ 2 /*|1 + -----| 
     \/ 2                     \      2  / 
(1 + -----, -----------------------------)
       2                  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=22+1x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1
Puntos máximos de la función:
x1=1−22x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,1−22]∪[22+1,∞)\left(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2} + 1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1−22,22+1]\left[1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(2x−1)(x−1)2+2−4x−1x−1x−1=0\frac{\frac{x \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 2 - \frac{4 x - 1}{x - 1}}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(2x−1)2x−2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x(2x−1)2x−2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(2*x - 1))/(2*x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2x−12x−2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 1}{2 x - 2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(2x−12x−2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{2 x - 2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(2x−1)2x−2=−x(−2x−1)−2x−2\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2} = - \frac{x \left(- 2 x - 1\right)}{- 2 x - 2}
- No
x(2x−1)2x−2=x(−2x−1)−2x−2\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2} = \frac{x \left(- 2 x - 1\right)}{- 2 x - 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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