Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
(x+1)*(x-2)^2
-
Expresiones idénticas
- x(dos x- uno)/(2x-2)
- x(2x menos 1) dividir por (2x menos 2)
- x(dos x menos uno) dividir por (2x menos 2)
- x2x-1/2x-2
- x(2x-1) dividir por (2x-2)
-
Expresiones semejantes
- x(2x-1)/(2x+2)
- x(2x+1)/(2x-2)
Gráfico de la función y = x(2x-1)/(2x-2)
Solución
Ha introducido
[src]
x*(2*x - 1)
f(x) = -----------
2*x - 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2}$$
f = (x*(2*x - 1))/(2*x - 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{\left(2 x - 2\right)^{2}} + \frac{4 x - 1}{2 x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2} + 1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(2 x - 1\right)}{\left(2 x - 2\right)^{2}} + \frac{4 x - 1}{2 x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___\
___ / ___\ | \/ 2 |
___ -\/ 2 *\1 - \/ 2 /*|1 - -----|
\/ 2 \ 2 /
(1 - -----, -------------------------------)
2 2 / ___\
___ / ___\ | \/ 2 |
___ \/ 2 *\1 + \/ 2 /*|1 + -----|
\/ 2 \ 2 /
(1 + -----, -----------------------------)
2 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2} + 1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{x \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 2 - \frac{4 x - 1}{x - 1}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{x \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 2 - \frac{4 x - 1}{x - 1}}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(2*x - 1))/(2*x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 1}{2 x - 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{2 x - 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 1}{2 x - 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{2 x - 2}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2} = - \frac{x \left(- 2 x - 1\right)}{- 2 x - 2}$$
- No
$$\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2} = \frac{x \left(- 2 x - 1\right)}{- 2 x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2} = - \frac{x \left(- 2 x - 1\right)}{- 2 x - 2}$$
- No
$$\frac{x \left(2 x - 1\right)}{2 x - 2} = \frac{x \left(- 2 x - 1\right)}{- 2 x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar