Sr Examen

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e^x*x
Trazado el gráfico de la función/ e^x*x

Gráfico de la función y = e^x*x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x  
f(x) = E *x
f(x)=exxf{\left(x \right)} = e^{x} x 
f = E^x*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250000250000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exx=0e^{x} x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−49.4541901054407x_{1} = -49.4541901054407
x2=−103.10407015753x_{2} = -103.10407015753
x3=−37.7592416454249x_{3} = -37.7592416454249
x4=−57.3470343910748x_{4} = -57.3470343910748
x5=−121.065503606275x_{5} = -121.065503606275
x6=−115.076847342498x_{6} = -115.076847342498
x7=−59.3262172000187x_{7} = -59.3262172000187
x8=−53.3950840173982x_{8} = -53.3950840173982
x9=−85.1619388762717x_{9} = -85.1619388762717
x10=−63.2896724119287x_{10} = -63.2896724119287
x11=−99.1148331129772x_{11} = -99.1148331129772
x12=−87.1541152286569x_{12} = -87.1541152286569
x13=−77.1981473783759x_{13} = -77.1981473783759
x14=−33.9540517145623x_{14} = -33.9540517145623
x15=−69.2447823410302x_{15} = -69.2447823410302
x16=−91.1396752246407x_{16} = -91.1396752246407
x17=−47.4891864944529x_{17} = -47.4891864944529
x18=−111.085180982879x_{18} = -111.085180982879
x19=−71.2319064024203x_{19} = -71.2319064024203
x20=−39.6870583075465x_{20} = -39.6870583075465
x21=−55.369883839131x_{21} = -55.369883839131
x22=0x_{22} = 0
x23=−89.146704685936x_{23} = -89.146704685936
x24=−75.2086687051389x_{24} = -75.2086687051389
x25=−97.1205993527235x_{25} = -97.1205993527235
x26=−65.2735421114241x_{26} = -65.2735421114241
x27=−73.2198969347223x_{27} = -73.2198969347223
x28=−109.089608132217x_{28} = -109.089608132217
x29=−95.1266472537626x_{29} = -95.1266472537626
x30=−51.4230249783974x_{30} = -51.4230249783974
x31=−107.094223645316x_{31} = -107.094223645316
x32=−113.080930865701x_{32} = -113.080930865701
x33=−79.1882678183563x_{33} = -79.1882678183563
x34=−35.8463765939876x_{34} = -35.8463765939876
x35=−119.06914228288x_{35} = -119.06914228288
x36=−117.072920781941x_{36} = -117.072920781941
x37=−101.109329237227x_{37} = -101.109329237227
x38=−83.1702113647074x_{38} = -83.1702113647074
x39=−61.3071694941258x_{39} = -61.3071694941258
x40=−43.5740005056864x_{40} = -43.5740005056864
x41=−32.0913241206348x_{41} = -32.0913241206348
x42=−105.099039845199x_{42} = -105.099039845199
x43=−81.1789726997072x_{43} = -81.1789726997072
x44=−45.5287883412543x_{44} = -45.5287883412543
x45=−93.1329980618501x_{45} = -93.1329980618501
x46=−41.6261544568938x_{46} = -41.6261544568938
x47=−67.2586229734047x_{47} = -67.2586229734047
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^x*x.
0e00 e^{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex+xex=0e^{x} + x e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
       -1 
(-1, -e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+2)ex=0\left(x + 2\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2,∞)\left[-2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} x\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} x\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^x*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞ex=0\lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞ex=∞\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exx=−xe−xe^{x} x = - x e^{- x}
- No
exx=xe−xe^{x} x = x e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = e^x*x
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