Sr Examen

Otras calculadoras

(x^5)/(x^4-1)

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^3/(x^2-1) x^3/(x^2-1)
  • x^3-3*x x^3-3*x
  • -x^2 -x^2
  • x/(x-1) x/(x-1)

  • Expresiones idénticas

  • (x^ cinco)/(x^ cuatro - uno)
  • (x en el grado 5) dividir por (x en el grado 4 menos 1)
  • (x en el grado cinco) dividir por (x en el grado cuatro menos uno)
  • (x5)/(x4-1)
  • x5/x4-1
  • (x⁵)/(x⁴-1)
  • x^5/x^4-1
  • (x^5) dividir por (x^4-1)

  • Expresiones semejantes

  • (x^5)/(x^4+1)
Trazado el gráfico de la función/ (x^5)/(x^4-1)

Gráfico de la función y = (x^5)/(x^4-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          5  
         x   
f(x) = ------
        4    
       x  - 1
f(x)=x5x4−1f{\left(x \right)} = \frac{x^{5}}{x^{4} - 1} 
f = x^5/(x^4 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x5x4−1=0\frac{x^{5}}{x^{4} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−4.82112157338904⋅10−5x_{1} = -4.82112157338904 \cdot 10^{-5}
x2=−9.33903234724502⋅10−5x_{2} = -9.33903234724502 \cdot 10^{-5}
x3=−2.80608919968017⋅10−5x_{3} = -2.80608919968017 \cdot 10^{-5}
x4=1.87224284342559⋅10−5x_{4} = 1.87224284342559 \cdot 10^{-5}
x5=0.000102591977699541x_{5} = 0.000102591977699541
x6=0.000882400966808572x_{6} = 0.000882400966808572
x7=−1.19261121901252⋅10−5x_{7} = -1.19261121901252 \cdot 10^{-5}
x8=0.00024800248493786x_{8} = 0.00024800248493786
x9=1.11942361268355⋅10−5x_{9} = 1.11942361268355 \cdot 10^{-5}
x10=−1.01213019573169⋅10−5x_{10} = -1.01213019573169 \cdot 10^{-5}
x11=0x_{11} = 0
x12=−0.000218683687032009x_{12} = -0.000218683687032009
x13=5.1970538417916⋅10−5x_{13} = 5.1970538417916 \cdot 10^{-5}
x14=2.98718732142302⋅10−5x_{14} = 2.98718732142302 \cdot 10^{-5}
x15=1.22790289210132⋅10−5x_{15} = 1.22790289210132 \cdot 10^{-5}
x16=−0.000192682376731374x_{16} = -0.000192682376731374
x17=−0.000727440845773191x_{17} = -0.000727440845773191
x18=−1.77454409565941⋅10−5x_{18} = -1.77454409565941 \cdot 10^{-5}
x19=−1.33462099260867⋅10−5x_{19} = -1.33462099260867 \cdot 10^{-5}
x20=−1.21359722055167⋅10−5x_{20} = -1.21359722055167 \cdot 10^{-5}
x21=1.24986252083299⋅10−5x_{21} = 1.24986252083299 \cdot 10^{-5}
x22=1.35086385233125⋅10−5x_{22} = 1.35086385233125 \cdot 10^{-5}
x23=−1.10677475373625⋅10−5x_{23} = -1.10677475373625 \cdot 10^{-5}
x24=1.02335530280007⋅10−5x_{24} = 1.02335530280007 \cdot 10^{-5}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^5/(x^4 - 1).
05−1+04\frac{0^{5}}{-1 + 0^{4}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4x8(x4−1)2+5x4x4−1=0- \frac{4 x^{8}}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} + \frac{5 x^{4}}{x^{4} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−54x_{2} = - \sqrt[4]{5}
x3=54x_{3} = \sqrt[4]{5}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

            4 ___ 
  4 ___  -5*\/ 5  
(-\/ 5, --------)
            4     

          4 ___ 
 4 ___  5*\/ 5  
(\/ 5, -------)
           4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=54x_{1} = \sqrt[4]{5}
Puntos máximos de la función:
x1=−54x_{1} = - \sqrt[4]{5}
Decrece en los intervalos
(−∞,−54]∪[54,∞)\left(-\infty, - \sqrt[4]{5}\right] \cup \left[\sqrt[4]{5}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−54,54]\left[- \sqrt[4]{5}, \sqrt[4]{5}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4x3(x4(8x4x4−1−3)x4−1−10x4x4−1+5)x4−1=0\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(4x3(x4(8x4x4−1−3)x4−1−10x4x4−1+5)x4−1)=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1}\right) = -\infty
lim⁡x→−1+(4x3(x4(8x4x4−1−3)x4−1−10x4x4−1+5)x4−1)=∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(4x3(x4(8x4x4−1−3)x4−1−10x4x4−1+5)x4−1)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(4x3(x4(8x4x4−1−3)x4−1−10x4x4−1+5)x4−1)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=1x_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x5x4−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5}}{x^{4} - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x5x4−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5}}{x^{4} - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^5/(x^4 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x4x4−1)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{4} - 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x4x4−1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{4} - 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x5x4−1=−x5x4−1\frac{x^{5}}{x^{4} - 1} = - \frac{x^{5}}{x^{4} - 1}
- No
x5x4−1=x5x4−1\frac{x^{5}}{x^{4} - 1} = \frac{x^{5}}{x^{4} - 1}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^5)/(x^4-1)
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