Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
3/(x^2+1)
-
Expresiones idénticas
- (x^ cinco)/(x^ cuatro - uno)
- (x en el grado 5) dividir por (x en el grado 4 menos 1)
- (x en el grado cinco) dividir por (x en el grado cuatro menos uno)
- (x5)/(x4-1)
- x5/x4-1
- (x⁵)/(x⁴-1)
- x^5/x^4-1
- (x^5) dividir por (x^4-1)
-
Expresiones semejantes
- (x^5)/(x^4+1)
Gráfico de la función y = (x^5)/(x^4-1)
Solución
Ha introducido
[src]
5
x
f(x) = ------
4
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{5}}{x^{4} - 1}$$
f = x^5/(x^4 - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{5}}{x^{4} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4.82112157338904 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = -9.33903234724502 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = -2.80608919968017 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = 1.87224284342559 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = 0.000102591977699541$$
$$x_{6} = 0.000882400966808572$$
$$x_{7} = -1.19261121901252 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 0.00024800248493786$$
$$x_{9} = 1.11942361268355 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = -1.01213019573169 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = 0$$
$$x_{12} = -0.000218683687032009$$
$$x_{13} = 5.1970538417916 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = 2.98718732142302 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = 1.22790289210132 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = -0.000192682376731374$$
$$x_{17} = -0.000727440845773191$$
$$x_{18} = -1.77454409565941 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = -1.33462099260867 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = -1.21359722055167 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = 1.24986252083299 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = 1.35086385233125 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{23} = -1.10677475373625 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = 1.02335530280007 \cdot 10^{-5}$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{5}}{x^{4} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4.82112157338904 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = -9.33903234724502 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = -2.80608919968017 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = 1.87224284342559 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = 0.000102591977699541$$
$$x_{6} = 0.000882400966808572$$
$$x_{7} = -1.19261121901252 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 0.00024800248493786$$
$$x_{9} = 1.11942361268355 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = -1.01213019573169 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = 0$$
$$x_{12} = -0.000218683687032009$$
$$x_{13} = 5.1970538417916 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = 2.98718732142302 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = 1.22790289210132 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = -0.000192682376731374$$
$$x_{17} = -0.000727440845773191$$
$$x_{18} = -1.77454409565941 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = -1.33462099260867 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = -1.21359722055167 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = 1.24986252083299 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = 1.35086385233125 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{23} = -1.10677475373625 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = 1.02335530280007 \cdot 10^{-5}$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{4 x^{8}}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} + \frac{5 x^{4}}{x^{4} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt[4]{5}$$
$$x_{3} = \sqrt[4]{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt[4]{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt[4]{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[4]{5}\right] \cup \left[\sqrt[4]{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt[4]{5}, \sqrt[4]{5}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{4 x^{8}}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} + \frac{5 x^{4}}{x^{4} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt[4]{5}$$
$$x_{3} = \sqrt[4]{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
4 ___
4 ___ -5*\/ 5
(-\/ 5, --------)
4 4 ___
4 ___ 5*\/ 5
(\/ 5, -------)
4 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt[4]{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt[4]{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[4]{5}\right] \cup \left[\sqrt[4]{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt[4]{5}, \sqrt[4]{5}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x^{3} \left(\frac{x^{4} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - 3\right)}{x^{4} - 1} - \frac{10 x^{4}}{x^{4} - 1} + 5\right)}{x^{4} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5}}{x^{4} - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5}}{x^{4} - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5}}{x^{4} - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5}}{x^{4} - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^5/(x^4 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{4} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{4} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{4} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{4} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{5}}{x^{4} - 1} = - \frac{x^{5}}{x^{4} - 1}$$
- No
$$\frac{x^{5}}{x^{4} - 1} = \frac{x^{5}}{x^{4} - 1}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{5}}{x^{4} - 1} = - \frac{x^{5}}{x^{4} - 1}$$
- No
$$\frac{x^{5}}{x^{4} - 1} = \frac{x^{5}}{x^{4} - 1}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico