Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((2x+1)√x^2+4x+4)/(x+2)

Gráfico de la función y = ((2x+1)√x^2+4x+4)/(x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                      2          
                   ___           
       (2*x + 1)*\/ x   + 4*x + 4
f(x) = --------------------------
                 x + 2
f(x)=((2x+1)(x)2+4x)+4x+2f{\left(x \right)} = \frac{\left(\left(2 x + 1\right) \left(\sqrt{x}\right)^{2} + 4 x\right) + 4}{x + 2} 
f = ((2*x + 1)*(sqrt(x))^2 + 4*x + 4)/(x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((2x+1)(x)2+4x)+4x+2=0\frac{\left(\left(2 x + 1\right) \left(\sqrt{x}\right)^{2} + 4 x\right) + 4}{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((2*x + 1)*(sqrt(x))^2 + 4*x + 4)/(x + 2).
((0⋅2+1)(0)2+0⋅4)+42\frac{\left(\left(0 \cdot 2 + 1\right) \left(\sqrt{0}\right)^{2} + 0 \cdot 4\right) + 4}{2}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x+5x+2−((2x+1)(x)2+4x)+4(x+2)2=0\frac{4 x + 5}{x + 2} - \frac{\left(\left(2 x + 1\right) \left(\sqrt{x}\right)^{2} + 4 x\right) + 4}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
x2=−1x_{2} = -1
Signos de extremos en los puntos:
(-3, -7)

(-1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos máximos de la función:
x1=−3x_{1} = -3
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]∪[−1,∞)\left(-\infty, -3\right] \cup \left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−3,−1]\left[-3, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2−4x+5x+2+x(2x+1)+4x+4(x+2)2)x+2=0\frac{2 \left(2 - \frac{4 x + 5}{x + 2} + \frac{x \left(2 x + 1\right) + 4 x + 4}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((2x+1)(x)2+4x)+4x+2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(2 x + 1\right) \left(\sqrt{x}\right)^{2} + 4 x\right) + 4}{x + 2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((2x+1)(x)2+4x)+4x+2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(2 x + 1\right) \left(\sqrt{x}\right)^{2} + 4 x\right) + 4}{x + 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((2*x + 1)*(sqrt(x))^2 + 4*x + 4)/(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((2x+1)(x)2+4x)+4x(x+2))=2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(2 x + 1\right) \left(\sqrt{x}\right)^{2} + 4 x\right) + 4}{x \left(x + 2\right)}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=2xy = 2 x
lim⁡x→∞(((2x+1)(x)2+4x)+4x(x+2))=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(2 x + 1\right) \left(\sqrt{x}\right)^{2} + 4 x\right) + 4}{x \left(x + 2\right)}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=2xy = 2 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((2x+1)(x)2+4x)+4x+2=−x(1−2x)−4x+42−x\frac{\left(\left(2 x + 1\right) \left(\sqrt{x}\right)^{2} + 4 x\right) + 4}{x + 2} = \frac{- x \left(1 - 2 x\right) - 4 x + 4}{2 - x}
- No
((2x+1)(x)2+4x)+4x+2=−−x(1−2x)−4x+42−x\frac{\left(\left(2 x + 1\right) \left(\sqrt{x}\right)^{2} + 4 x\right) + 4}{x + 2} = - \frac{- x \left(1 - 2 x\right) - 4 x + 4}{2 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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