Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=x^4-10x^2+9 y=x^4-10x^2+9
  • (x^5)/((x^4)-1) (x^5)/((x^4)-1)
  • x-e x-e
  • (x+5)^2-9 (x+5)^2-9

  • Expresiones idénticas

  • x^ dos (x+ uno)/(x- uno)^ dos
  • x al cuadrado (x más 1) dividir por (x menos 1) al cuadrado
  • x en el grado dos (x más uno) dividir por (x menos uno) en el grado dos
  • x2(x+1)/(x-1)2
  • x2x+1/x-12
  • x²(x+1)/(x-1)²
  • x en el grado 2(x+1)/(x-1) en el grado 2
  • x^2x+1/x-1^2
  • x^2(x+1) dividir por (x-1)^2

  • Expresiones semejantes

  • x^2(x+1)/(x+1)^2
  • x^2(x-1)/(x-1)^2
Trazado el gráfico de la función/ x^2(x+1)/(x-1)^2

Gráfico de la función y = x^2(x+1)/(x-1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2        
       x *(x + 1)
f(x) = ----------
               2 
        (x - 1)
f(x)=x2(x+1)(x−1)2f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} 
f = (x^2*(x + 1))/(x - 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2(x+1)(x−1)2=0\frac{x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=−1x_{2} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2*(x + 1))/(x - 1)^2.
02(−1)2\frac{0^{2}}{\left(-1\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2(2−2x)(x+1)(x−1)4+x2+2x(x+1)(x−1)2=0\frac{x^{2} \left(2 - 2 x\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=32−172x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}
x3=32+172x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

                         2              
             /      ____\  /      ____\ 
             |3   \/ 17 |  |5   \/ 17 | 
       ____  |- - ------| *|- - ------| 
 3   \/ 17   \2     2   /  \2     2   / 
(- - ------, --------------------------)
 2     2                       2        
                   /      ____\         
                   |1   \/ 17 |         
                   |- - ------|         
                   \2     2   /         

                         2              
             /      ____\  /      ____\ 
             |3   \/ 17 |  |5   \/ 17 | 
       ____  |- + ------| *|- + ------| 
 3   \/ 17   \2     2   /  \2     2   / 
(- + ------, --------------------------)
 2     2                       2        
                   /      ____\         
                   |1   \/ 17 |         
                   |- + ------|         
                   \2     2   /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
x2=32+172x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=32−172x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}
Decrece en los intervalos
[32+172,∞)\left[\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[32−172,0]\left[\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x2(x+1)(x−1)2+3x−2x(3x+2)x−1+1)(x−1)2=0\frac{2 \left(\frac{3 x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{2 x \left(3 x + 2\right)}{x - 1} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−15x_{1} = - \frac{1}{5}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(2(3x2(x+1)(x−1)2+3x−2x(3x+2)x−1+1)(x−1)2)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{3 x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{2 x \left(3 x + 2\right)}{x - 1} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→1+(2(3x2(x+1)(x−1)2+3x−2x(3x+2)x−1+1)(x−1)2)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{3 x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 3 x - \frac{2 x \left(3 x + 2\right)}{x - 1} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−15,∞)\left[- \frac{1}{5}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−15]\left(-\infty, - \frac{1}{5}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2(x+1)(x−1)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2(x+1)(x−1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2*(x + 1))/(x - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x(x+1)(x−1)2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x(x+1)(x−1)2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2(x+1)(x−1)2=x2(1−x)(−x−1)2\frac{x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{x^{2} \left(1 - x\right)}{\left(- x - 1\right)^{2}}
- No
x2(x+1)(x−1)2=−x2(1−x)(−x−1)2\frac{x^{2} \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{x^{2} \left(1 - x\right)}{\left(- x - 1\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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