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Trazado el gráfico de la función/ 1-1/x+log(x)/x

Gráfico de la función y = 1-1/x+log(x)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           1   log(x)
f(x) = 1 - - + ------
           x     x
f(x)=(1−1x)+log⁡(x)xf{\left(x \right)} = \left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{\log{\left(x \right)}}{x} 
f = 1 - 1/x + log(x)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(1−1x)+log⁡(x)x=0\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{\log{\left(x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 - 1/x + log(x)/x.
log⁡(0)0+(1−10)\frac{\log{\left(0 \right)}}{0} + \left(1 - \frac{1}{0}\right)
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−log⁡(x)x2+2x2=0- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e2x_{1} = e^{2}
Signos de extremos en los puntos:
  2       -2 
(e, 1 + e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=e2x_{1} = e^{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,e2]\left(-\infty, e^{2}\right]
Crece en los intervalos
[e2,∞)\left[e^{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log⁡(x)−5x3=0\frac{2 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e52x_{1} = e^{\frac{5}{2}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2log⁡(x)−5x3)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(2log⁡(x)−5x3)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{3}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[e52,∞)\left[e^{\frac{5}{2}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,e52]\left(-\infty, e^{\frac{5}{2}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((1−1x)+log⁡(x)x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞((1−1x)+log⁡(x)x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - 1/x + log(x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((1−1x)+log⁡(x)xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{\log{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((1−1x)+log⁡(x)xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{\log{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(1−1x)+log⁡(x)x=1−log⁡(−x)x+1x\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{\log{\left(x \right)}}{x} = 1 - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x} + \frac{1}{x}
- No
(1−1x)+log⁡(x)x=−1+log⁡(−x)x−1x\left(1 - \frac{1}{x}\right) + \frac{\log{\left(x \right)}}{x} = -1 + \frac{\log{\left(- x \right)}}{x} - \frac{1}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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