Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/2sin(x)+1.7cos(x)

Gráfico de la función y = 1/2sin(x)+1.7cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       sin(x)   17*cos(x)
f(x) = ------ + ---------
         2          10
f(x)=sin⁡(x)2+17cos⁡(x)10f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{17 \cos{\left(x \right)}}{10} 
f = sin(x)/2 + 17*cos(x)/10
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)2+17cos⁡(x)10=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{17 \cos{\left(x \right)}}{10} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−atan⁡(175)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{17}{5} \right)}
Solución numérica
x1=−64.1165979568734x_{1} = -64.1165979568734
x2=−32.7006714209755x_{2} = -32.7006714209755
x3=42.6975522651795x_{3} = 42.6975522651795
x4=39.5559596115897x_{4} = 39.5559596115897
x5=4.99844042210201x_{5} = 4.99844042210201
x6=1.85684776851221x_{6} = 1.85684776851221
x7=77.2550714546673x_{7} = 77.2550714546673
x8=67.8302934938979x_{8} = 67.8302934938979
x9=−54.6918199961041x_{9} = -54.6918199961041
x10=−38.9838567281551x_{10} = -38.9838567281551
x11=86.6798494154366x_{11} = 86.6798494154366
x12=−42.1254493817449x_{12} = -42.1254493817449
x13=14.4232183828714x_{13} = 14.4232183828714
x14=−79.8245612248224x_{14} = -79.8245612248224
x15=−76.6829685712326x_{15} = -76.6829685712326
x16=−67.2581906104632x_{16} = -67.2581906104632
x17=−26.4174861137959x_{17} = -26.4174861137959
x18=11.2816257292816x_{18} = 11.2816257292816
x19=92.9630347226162x_{19} = 92.9630347226162
x20=−60.9750053032837x_{20} = -60.9750053032837
x21=−95.5325244927714x_{21} = -95.5325244927714
x22=26.9895889972306x_{22} = 26.9895889972306
x23=23.8479963436408x_{23} = 23.8479963436408
x24=−1.28474488507758x_{24} = -1.28474488507758
x25=−48.4086346889245x_{25} = -48.4086346889245
x26=−4.42633753866737x_{26} = -4.42633753866737
x27=−23.2758934602061x_{27} = -23.2758934602061
x28=−35.8422640745653x_{28} = -35.8422640745653
x29=−16.9927081530265x_{29} = -16.9927081530265
x30=17.5648110364612x_{30} = 17.5648110364612
x31=−57.8334126496939x_{31} = -57.8334126496939
x32=33.2727743044101x_{32} = 33.2727743044101
x33=−86.107746532002x_{33} = -86.107746532002
x34=55.2639228795387x_{34} = 55.2639228795387
x35=−92.3909318391816x_{35} = -92.3909318391816
x36=20.706403690051x_{36} = 20.706403690051
x37=−29.5590787673857x_{37} = -29.5590787673857
x38=61.5471081867183x_{38} = 61.5471081867183
x39=−89.2493391855918x_{39} = -89.2493391855918
x40=−10.709522845847x_{40} = -10.709522845847
x41=−70.399783264053x_{41} = -70.399783264053
x42=−51.5502273425143x_{42} = -51.5502273425143
x43=8.1400330756918x_{43} = 8.1400330756918
x44=−20.1343008066163x_{44} = -20.1343008066163
x45=−98.6741171463612x_{45} = -98.6741171463612
x46=−45.2670420353347x_{46} = -45.2670420353347
x47=−13.8511154994368x_{47} = -13.8511154994368
x48=−82.9661538784122x_{48} = -82.9661538784122
x49=80.396664108257x_{49} = 80.396664108257
x50=−73.5413759176428x_{50} = -73.5413759176428
x51=30.1311816508204x_{51} = 30.1311816508204
x52=64.6887008403081x_{52} = 64.6887008403081
x53=74.1134788010775x_{53} = 74.1134788010775
x54=−7.56793019225716x_{54} = -7.56793019225716
x55=70.9718861474877x_{55} = 70.9718861474877
x56=99.2462200297958x_{56} = 99.2462200297958
x57=58.4055155331285x_{57} = 58.4055155331285
x58=45.8391449187693x_{58} = 45.8391449187693
x59=165899.940105885x_{59} = 165899.940105885
x60=48.9807375723591x_{60} = 48.9807375723591
x61=96.104627376206x_{61} = 96.104627376206
x62=83.5382567618468x_{62} = 83.5382567618468
x63=36.4143669579999x_{63} = 36.4143669579999
x64=89.8214420690264x_{64} = 89.8214420690264
x65=52.1223302259489x_{65} = 52.1223302259489
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)/2 + 17*cos(x)/10.
sin⁡(0)2+17cos⁡(0)10\frac{\sin{\left(0 \right)}}{2} + \frac{17 \cos{\left(0 \right)}}{10}
Resultado:
f(0)=1710f{\left(0 \right)} = \frac{17}{10}
Punto:
(0, 17/10)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−17sin⁡(x)10+cos⁡(x)2=0- \frac{17 \sin{\left(x \right)}}{10} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(517)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{17} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
               _____ 
             \/ 314  
(atan(5/17), -------)
                10


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(517)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{17} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(517)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{17} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(517),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{17} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−5sin⁡(x)+17cos⁡(x)10=0- \frac{5 \sin{\left(x \right)} + 17 \cos{\left(x \right)}}{10} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(175)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{17}{5} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(175)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{17}{5} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(175),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{17}{5} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)2+17cos⁡(x)10)=⟨−115,115⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{17 \cos{\left(x \right)}}{10}\right) = \left\langle - \frac{11}{5}, \frac{11}{5}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−115,115⟩y = \left\langle - \frac{11}{5}, \frac{11}{5}\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)2+17cos⁡(x)10)=⟨−115,115⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{17 \cos{\left(x \right)}}{10}\right) = \left\langle - \frac{11}{5}, \frac{11}{5}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−115,115⟩y = \left\langle - \frac{11}{5}, \frac{11}{5}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)/2 + 17*cos(x)/10, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)2+17cos⁡(x)10x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{17 \cos{\left(x \right)}}{10}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)2+17cos⁡(x)10x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{17 \cos{\left(x \right)}}{10}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)2+17cos⁡(x)10=−sin⁡(x)2+17cos⁡(x)10\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{17 \cos{\left(x \right)}}{10} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{17 \cos{\left(x \right)}}{10}
- No
sin⁡(x)2+17cos⁡(x)10=sin⁡(x)2−17cos⁡(x)10\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{17 \cos{\left(x \right)}}{10} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{17 \cos{\left(x \right)}}{10}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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