Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^2+x+1 x^2+x+1
  • (x^2-1)/(x^2+1) (x^2-1)/(x^2+1)
  • y=x^3-3x^2+4 y=x^3-3x^2+4
  • -1-x -1-x

  • Expresiones idénticas

  • uno / cinco ^x^ dos
  • 1 dividir por 5 en el grado x al cuadrado
  • uno dividir por cinco en el grado x en el grado dos
  • 1/5x2
  • 1/5^x²
  • 1/5 en el grado x en el grado 2
  • 1 dividir por 5^x^2
Trazado el gráfico de la función/ 1/5^x^2

Gráfico de la función y = 1/5^x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2
        -x 
f(x) = 5
f(x)=(15)x2f{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{5}\right)^{x^{2}} 
f = (1/5)^(x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(15)x2=0\left(\frac{1}{5}\right)^{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1/5)^(x^2).
(15)02\left(\frac{1}{5}\right)^{0^{2}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2⋅5−x2xlog⁡(5)=0- 2 \cdot 5^{- x^{2}} x \log{\left(5 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2⋅5−x2(2x2log⁡(5)−1)log⁡(5)=02 \cdot 5^{- x^{2}} \left(2 x^{2} \log{\left(5 \right)} - 1\right) \log{\left(5 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−22log⁡(5)x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\log{\left(5 \right)}}}
x2=22log⁡(5)x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\log{\left(5 \right)}}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−22log⁡(5)]∪[22log⁡(5),∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\log{\left(5 \right)}}}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\log{\left(5 \right)}}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−22log⁡(5),22log⁡(5)]\left[- \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\log{\left(5 \right)}}}, \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\log{\left(5 \right)}}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(15)x2=0\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^{x^{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(15)x2=0\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{5}\right)^{x^{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1/5)^(x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(5−x2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5^{- x^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(5−x2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{- x^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(15)x2=(15)x2\left(\frac{1}{5}\right)^{x^{2}} = \left(\frac{1}{5}\right)^{x^{2}}
- Sí
(15)x2=−(15)x2\left(\frac{1}{5}\right)^{x^{2}} = - \left(\frac{1}{5}\right)^{x^{2}}
- No
es decir, función
es
par
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