Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • (x^2+3)/(x-1) (x^2+3)/(x-1)
  • 2*x+1 2*x+1
  • x^2-x x^2-x
  • 4/x 4/x
  • ¿cómo vas a descomponer esta expresión en fracciones?:
  • e^x/(x^2-1)

  • Expresiones idénticas

  • e^x/(x^ dos - uno)
  • e en el grado x dividir por (x al cuadrado menos 1)
  • e en el grado x dividir por (x en el grado dos menos uno)
  • ex/(x2-1)
  • ex/x2-1
  • e^x/(x²-1)
  • e en el grado x/(x en el grado 2-1)
  • e^x/x^2-1
  • e^x dividir por (x^2-1)

  • Expresiones semejantes

  • e^x/(x^2+1)
Trazado el gráfico de la función/ e^x/(x^2-1)

Gráfico de la función y = e^x/(x^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x  
         E   
f(x) = ------
        2    
       x  - 1
f(x)=exx2−1f{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{x^{2} - 1} 
f = E^x/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exx2−1=0\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^x/(x^2 - 1).
e0−1+02\frac{e^{0}}{-1 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2xex(x2−1)2+exx2−1=0- \frac{2 x e^{x}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{e^{x}}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1−2x_{1} = 1 - \sqrt{2}
x2=1+2x_{2} = 1 + \sqrt{2}
Signos de extremos en los puntos:
                       ___    
                 1 - \/ 2     
       ___      e             
(1 - \/ 2, -----------------)
                            2 
                 /      ___\  
            -1 + \1 - \/ 2 /  

                       ___    
                 1 + \/ 2     
       ___      e             
(1 + \/ 2, -----------------)
                            2 
                 /      ___\  
            -1 + \1 + \/ 2 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1+2x_{1} = 1 + \sqrt{2}
Puntos máximos de la función:
x1=1−2x_{1} = 1 - \sqrt{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,1−2]∪[1+2,∞)\left(-\infty, 1 - \sqrt{2}\right] \cup \left[1 + \sqrt{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1−2,1+2]\left[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−4xx2−1+1+2(4x2x2−1−1)x2−1)exx2−1=0\frac{\left(- \frac{4 x}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1}\right) e^{x}}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(exx2−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x^{2} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exx2−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x^{2} - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^x/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(exx(x2−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(exx(x2−1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exx2−1=e−xx2−1\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} = \frac{e^{- x}}{x^{2} - 1}
- No
exx2−1=−e−xx2−1\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} = - \frac{e^{- x}}{x^{2} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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