Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((3x^2)-6x+4)/(x-2)

Gráfico de la función y = ((3x^2)-6x+4)/(x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2          
       3*x  - 6*x + 4
f(x) = --------------
           x - 2
f(x)=(3x2−6x)+4x−2f{\left(x \right)} = \frac{\left(3 x^{2} - 6 x\right) + 4}{x - 2} 
f = (3*x^2 - 6*x + 4)/(x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(3x2−6x)+4x−2=0\frac{\left(3 x^{2} - 6 x\right) + 4}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*x^2 - 6*x + 4)/(x - 2).
(3⋅02−0)+4−2\frac{\left(3 \cdot 0^{2} - 0\right) + 4}{-2}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x−6x−2−(3x2−6x)+4(x−2)2=0\frac{6 x - 6}{x - 2} - \frac{\left(3 x^{2} - 6 x\right) + 4}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2−233x_{1} = 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}
x2=233+2x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2
Signos de extremos en los puntos:
                     /                    2          \  
                     |       /        ___\           |  
                 ___ |       |    2*\/ 3 |        ___|  
         ___  -\/ 3 *|-8 + 3*|2 - -------|  + 4*\/ 3 |  
     2*\/ 3          \       \       3   /           /  
(2 - -------, -----------------------------------------)
        3                         2                     

                    /                              2\ 
                    |                 /        ___\ | 
                ___ |         ___     |    2*\/ 3 | | 
         ___  \/ 3 *|-8 - 4*\/ 3  + 3*|2 + -------| | 
     2*\/ 3         \                 \       3   / / 
(2 + -------, ---------------------------------------)
        3                        2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=233+2x_{1} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2
Puntos máximos de la función:
x1=2−233x_{1} = 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,2−233]∪[233+2,∞)\left(-\infty, 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \infty\right)
Crece en los intervalos
[2−233,233+2]\left[2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3−6(x−1)x−2+3x(x−2)+4(x−2)2)x−2=0\frac{2 \left(3 - \frac{6 \left(x - 1\right)}{x - 2} + \frac{3 x \left(x - 2\right) + 4}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((3x2−6x)+4x−2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 6 x\right) + 4}{x - 2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((3x2−6x)+4x−2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 6 x\right) + 4}{x - 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*x^2 - 6*x + 4)/(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((3x2−6x)+4x(x−2))=3\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 6 x\right) + 4}{x \left(x - 2\right)}\right) = 3
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=3xy = 3 x
lim⁡x→∞((3x2−6x)+4x(x−2))=3\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 6 x\right) + 4}{x \left(x - 2\right)}\right) = 3
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=3xy = 3 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(3x2−6x)+4x−2=3x2+6x+4−x−2\frac{\left(3 x^{2} - 6 x\right) + 4}{x - 2} = \frac{3 x^{2} + 6 x + 4}{- x - 2}
- No
(3x2−6x)+4x−2=−3x2+6x+4−x−2\frac{\left(3 x^{2} - 6 x\right) + 4}{x - 2} = - \frac{3 x^{2} + 6 x + 4}{- x - 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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