Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{6 x - 6}{x - 2} - \frac{\left(3 x^{2} - 6 x\right) + 4}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
| / ___\ |
___ | | 2*\/ 3 | ___|
___ -\/ 3 *|-8 + 3*|2 - -------| + 4*\/ 3 |
2*\/ 3 \ \ 3 / /
(2 - -------, -----------------------------------------)
3 2
/ 2\
| / ___\ |
___ | ___ | 2*\/ 3 | |
___ \/ 3 *|-8 - 4*\/ 3 + 3*|2 + -------| |
2*\/ 3 \ \ 3 / /
(2 + -------, ---------------------------------------)
3 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right]$$