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y=log((x-5)/x)+2
Trazado el gráfico de la función/ y=log((x-5)/x)+2

Gráfico de la función y = y=log((x-5)/x)+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x - 5\    
f(x) = log|-----| + 2
          \  x  /
f(x)=log⁡(x−5x)+2f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x - 5}{x} \right)} + 2 
f = log((x - 5)/x) + 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x−5x)+2=0\log{\left(\frac{x - 5}{x} \right)} + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5e21−e2x_{1} = - \frac{5 e^{2}}{1 - e^{2}}
Solución numérica
x1=5.78258821374833x_{1} = 5.78258821374833
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((x - 5)/x) + 2.
log⁡(−50)+2\log{\left(- \frac{5}{0} \right)} + 2
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(1x−x−5x2)x−5=0\frac{x \left(\frac{1}{x} - \frac{x - 5}{x^{2}}\right)}{x - 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1−x−5x)(−1x−5−1x)x−5=0\frac{\left(1 - \frac{x - 5}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x}\right)}{x - 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=52x_{1} = \frac{5}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−((1−x−5x)(−1x−5−1x)x−5)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(1 - \frac{x - 5}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x}\right)}{x - 5}\right) = \infty
lim⁡x→0+((1−x−5x)(−1x−5−1x)x−5)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 - \frac{x - 5}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x}\right)}{x - 5}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,52]\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[52,∞)\left[\frac{5}{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x−5x)+2)=2\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\frac{x - 5}{x} \right)} + 2\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=2y = 2
lim⁡x→∞(log⁡(x−5x)+2)=2\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{x - 5}{x} \right)} + 2\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2y = 2
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((x - 5)/x) + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x−5x)+2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x - 5}{x} \right)} + 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x−5x)+2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x - 5}{x} \right)} + 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x−5x)+2=log⁡(−−x−5x)+2\log{\left(\frac{x - 5}{x} \right)} + 2 = \log{\left(- \frac{- x - 5}{x} \right)} + 2
- No
log⁡(x−5x)+2=−log⁡(−−x−5x)−2\log{\left(\frac{x - 5}{x} \right)} + 2 = - \log{\left(- \frac{- x - 5}{x} \right)} - 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=log((x-5)/x)+2
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