Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x-x^3 x-x^3
  • x^4-x^3 x^4-x^3
  • x^4-2x^2 x^4-2x^2
  • x^2-3*x+1 x^2-3*x+1

  • Expresiones idénticas

  • cosx cuatro /4
  • coseno de x4 dividir por 4
  • coseno de x cuatro dividir por 4
  • cosx4 dividir por 4
Trazado el gráfico de la función/ cosx4/4

Gráfico de la función y = cosx4/4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x)
f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} 
f = cos(x)
Gráfico de la función
0-300-250-200-150-100-50501001502002503002-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)=0\cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=48.6946861306418x_{1} = 48.6946861306418
x2=92.6769832808989x_{2} = 92.6769832808989
x3=86.3937979737193x_{3} = 86.3937979737193
x4=−7.85398163397448x_{4} = -7.85398163397448
x5=−86.3937979737193x_{5} = -86.3937979737193
x6=1.5707963267949x_{6} = 1.5707963267949
x7=−64.4026493985908x_{7} = -64.4026493985908
x8=−58.1194640914112x_{8} = -58.1194640914112
x9=−83.2522053201295x_{9} = -83.2522053201295
x10=−54.9778714378214x_{10} = -54.9778714378214
x11=54.9778714378214x_{11} = 54.9778714378214
x12=89.5353906273091x_{12} = 89.5353906273091
x13=−20.4203522483337x_{13} = -20.4203522483337
x14=32.9867228626928x_{14} = 32.9867228626928
x15=−17.2787595947439x_{15} = -17.2787595947439
x16=23.5619449019235x_{16} = 23.5619449019235
x17=−45.553093477052x_{17} = -45.553093477052
x18=64.4026493985908x_{18} = 64.4026493985908
x19=45.553093477052x_{19} = 45.553093477052
x20=83.2522053201295x_{20} = 83.2522053201295
x21=−168.075206967054x_{21} = -168.075206967054
x22=−29.845130209103x_{22} = -29.845130209103
x23=−51.8362787842316x_{23} = -51.8362787842316
x24=80.1106126665397x_{24} = 80.1106126665397
x25=−39.2699081698724x_{25} = -39.2699081698724
x26=−92.6769832808989x_{26} = -92.6769832808989
x27=4.71238898038469x_{27} = 4.71238898038469
x28=70.6858347057703x_{28} = 70.6858347057703
x29=36.1283155162826x_{29} = 36.1283155162826
x30=−70.6858347057703x_{30} = -70.6858347057703
x31=−48.6946861306418x_{31} = -48.6946861306418
x32=42.4115008234622x_{32} = 42.4115008234622
x33=−2266.65909956504x_{33} = -2266.65909956504
x34=−42.4115008234622x_{34} = -42.4115008234622
x35=−67.5442420521806x_{35} = -67.5442420521806
x36=10.9955742875643x_{36} = 10.9955742875643
x37=98.9601685880785x_{37} = 98.9601685880785
x38=−23.5619449019235x_{38} = -23.5619449019235
x39=20.4203522483337x_{39} = 20.4203522483337
x40=−61.261056745001x_{40} = -61.261056745001
x41=−10.9955742875643x_{41} = -10.9955742875643
x42=17.2787595947439x_{42} = 17.2787595947439
x43=−95.8185759344887x_{43} = -95.8185759344887
x44=−36.1283155162826x_{44} = -36.1283155162826
x45=61.261056745001x_{45} = 61.261056745001
x46=73.8274273593601x_{46} = 73.8274273593601
x47=14.1371669411541x_{47} = 14.1371669411541
x48=−26.7035375555132x_{48} = -26.7035375555132
x49=51.8362787842316x_{49} = 51.8362787842316
x50=−89.5353906273091x_{50} = -89.5353906273091
x51=39.2699081698724x_{51} = 39.2699081698724
x52=−387.986692718339x_{52} = -387.986692718339
x53=−32.9867228626928x_{53} = -32.9867228626928
x54=−14.1371669411541x_{54} = -14.1371669411541
x55=−4.71238898038469x_{55} = -4.71238898038469
x56=−76.9690200129499x_{56} = -76.9690200129499
x57=95.8185759344887x_{57} = 95.8185759344887
x58=76.9690200129499x_{58} = 76.9690200129499
x59=58.1194640914112x_{59} = 58.1194640914112
x60=−80.1106126665397x_{60} = -80.1106126665397
x61=−73.8274273593601x_{61} = -73.8274273593601
x62=7.85398163397448x_{62} = 7.85398163397448
x63=−1.5707963267949x_{63} = -1.5707963267949
x64=29.845130209103x_{64} = 29.845130209103
x65=67.5442420521806x_{65} = 67.5442420521806
x66=26.7035375555132x_{66} = 26.7035375555132
x67=−98.9601685880785x_{67} = -98.9601685880785
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x).
cos⁡(0)\cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x)=0- \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)=cos⁡(x)\cos{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}
- Sí
cos⁡(x)=−cos⁡(x)\cos{\left(x \right)} = - \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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