Sr Examen
x+y=10; 2x-y=-8
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x + y = 10$$
$$2 x - y = -8$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x + y = 10$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = 10 - y$$
$$x = 10 - y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$2 x - y = -8$$
Obtenemos:
$$- y + 2 \left(10 - y\right) = -8$$
$$20 - 3 y = -8$$
Pasamos el sumando libre 20 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- 3 y = -20 - 8$$
$$- 3 y = -28$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) 3 y}{-3} = - \frac{28}{-3}$$
$$y = \frac{28}{3}$$
Como
$$x = 10 - y$$
entonces
$$x = 10 - \frac{28}{3}$$
$$x = \frac{2}{3}$$
Respuesta:
$$x = \frac{2}{3}$$
$$y = \frac{28}{3}$$
$$x + y = 10$$
$$2 x - y = -8$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x + y = 10$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = 10 - y$$
$$x = 10 - y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$2 x - y = -8$$
Obtenemos:
$$- y + 2 \left(10 - y\right) = -8$$
$$20 - 3 y = -8$$
Pasamos el sumando libre 20 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- 3 y = -20 - 8$$
$$- 3 y = -28$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) 3 y}{-3} = - \frac{28}{-3}$$
$$y = \frac{28}{3}$$
Como
$$x = 10 - y$$
entonces
$$x = 10 - \frac{28}{3}$$
$$x = \frac{2}{3}$$
Respuesta:
$$x = \frac{2}{3}$$
$$y = \frac{28}{3}$$
Respuesta rápida
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
=
$$\frac{2}{3}$$
=
$$y_{1} = \frac{28}{3}$$
=
$$\frac{28}{3}$$
=
=
$$\frac{2}{3}$$
=
0.666666666666667
$$y_{1} = \frac{28}{3}$$
=
$$\frac{28}{3}$$
=
9.33333333333333
Regla de Cramer
$$x + y = 10$$
$$2 x - y = -8$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 10$$
$$2 x - y = -8$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & -1\end{matrix}\right] \right)} = -3$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}10 & 1\\-8 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{3} = \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 10\\2 & -8\end{matrix}\right] \right)}}{3} = \frac{28}{3}$$
$$2 x - y = -8$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 10$$
$$2 x - y = -8$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & -1\end{matrix}\right] \right)} = -3$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}10 & 1\\-8 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{3} = \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 10\\2 & -8\end{matrix}\right] \right)}}{3} = \frac{28}{3}$$
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x + y = 10$$
$$2 x - y = -8$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 10$$
$$2 x - y = -8$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 10\\2 & -1 & -8\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 10\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & \left(-1\right) 2 - 1 & - 2 \cdot 10 - 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & -28\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 10\\0 & -3 & -28\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -28\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{3} & 1 - - -1 & 10 - - \frac{-28}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{2}{3}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{2}{3}\\0 & -3 & -28\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - \frac{2}{3} = 0$$
$$28 - 3 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = \frac{28}{3}$$
$$x + y = 10$$
$$2 x - y = -8$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 10$$
$$2 x - y = -8$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 10\\2 & -1 & -8\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 10\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & \left(-1\right) 2 - 1 & - 2 \cdot 10 - 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & -28\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 10\\0 & -3 & -28\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -28\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{3} & 1 - - -1 & 10 - - \frac{-28}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{2}{3}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{2}{3}\\0 & -3 & -28\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - \frac{2}{3} = 0$$
$$28 - 3 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = \frac{28}{3}$$
Respuesta numérica
[src]
x1 = 0.6666666666666667 y1 = 9.333333333333333
x1 = 0.6666666666666667 y1 = 9.333333333333333