Sr Examen
z1-2z2; 2z1+z2
Solución
Ha introducido
[src]
z1 - 2*z2 = 0
$$z_{1} - 2 z_{2} = 0$$
2*z1 + z2 = 0
$$2 z_{1} + z_{2} = 0$$
2*z1 + z2 = 0
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$z_{1} - 2 z_{2} = 0$$
$$2 z_{1} + z_{2} = 0$$
De ecuación 1 expresamos z1
$$z_{1} - 2 z_{2} = 0$$
Pasamos el sumando con la variable z2 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$z_{1} = 2 z_{2}$$
$$z_{1} = 2 z_{2}$$
Ponemos el resultado z1 en ecuación 2
$$2 z_{1} + z_{2} = 0$$
Obtenemos:
$$z_{2} + 2 \cdot 2 z_{2} = 0$$
$$5 z_{2} = 0$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de z2
$$\frac{5 z_{2}}{5} = \frac{0}{5}$$
$$z_{2} = 0$$
Como
$$z_{1} = 2 z_{2}$$
entonces
$$z_{1} = 0 \cdot 2$$
$$z_{1} = 0$$
Respuesta:
$$z_{1} = 0$$
$$z_{2} = 0$$
$$z_{1} - 2 z_{2} = 0$$
$$2 z_{1} + z_{2} = 0$$
De ecuación 1 expresamos z1
$$z_{1} - 2 z_{2} = 0$$
Pasamos el sumando con la variable z2 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$z_{1} = 2 z_{2}$$
$$z_{1} = 2 z_{2}$$
Ponemos el resultado z1 en ecuación 2
$$2 z_{1} + z_{2} = 0$$
Obtenemos:
$$z_{2} + 2 \cdot 2 z_{2} = 0$$
$$5 z_{2} = 0$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de z2
$$\frac{5 z_{2}}{5} = \frac{0}{5}$$
$$z_{2} = 0$$
Como
$$z_{1} = 2 z_{2}$$
entonces
$$z_{1} = 0 \cdot 2$$
$$z_{1} = 0$$
Respuesta:
$$z_{1} = 0$$
$$z_{2} = 0$$
Respuesta rápida
$$z_{21} = 0$$
=
$$0$$
=
$$z_{11} = 0$$
=
$$0$$
=
=
$$0$$
=
0
$$z_{11} = 0$$
=
$$0$$
=
0
Regla de Cramer
$$z_{1} - 2 z_{2} = 0$$
$$2 z_{1} + z_{2} = 0$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$z_{1} - 2 z_{2} = 0$$
$$2 z_{1} + z_{2} = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - 2 x_{2}\\2 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -2\\2 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 5$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}0 & -2\\0 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{5} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 0\\2 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{5} = 0$$
$$2 z_{1} + z_{2} = 0$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$z_{1} - 2 z_{2} = 0$$
$$2 z_{1} + z_{2} = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - 2 x_{2}\\2 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -2\\2 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 5$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}0 & -2\\0 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{5} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 0\\2 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{5} = 0$$
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$z_{1} - 2 z_{2} = 0$$
$$2 z_{1} + z_{2} = 0$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$z_{1} - 2 z_{2} = 0$$
$$2 z_{1} + z_{2} = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 0\\2 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & 1 - - 4 & - 0 \cdot 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 5 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 0\\0 & 5 & 0\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 5 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-2\right) 0}{5} & -2 - \frac{\left(-2\right) 5}{5} & - \frac{\left(-2\right) 0}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} = 0$$
$$5 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
$$z_{1} - 2 z_{2} = 0$$
$$2 z_{1} + z_{2} = 0$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$z_{1} - 2 z_{2} = 0$$
$$2 z_{1} + z_{2} = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 0\\2 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & 1 - - 4 & - 0 \cdot 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 5 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 0\\0 & 5 & 0\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 5 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-2\right) 0}{5} & -2 - \frac{\left(-2\right) 5}{5} & - \frac{\left(-2\right) 0}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} = 0$$
$$5 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$