Sr Examen
2x1+3x2+4x3=0; 6x1-2x2+x3=0; -3x1+3x2+x3=0
Solución
Ha introducido
[src]
2*x1 + 3*x2 + 4*x3 = 0
$$4 x_{3} + \left(2 x_{1} + 3 x_{2}\right) = 0$$
6*x1 - 2*x2 + x3 = 0
$$x_{3} + \left(6 x_{1} - 2 x_{2}\right) = 0$$
-3*x1 + 3*x2 + x3 = 0
$$x_{3} + \left(- 3 x_{1} + 3 x_{2}\right) = 0$$
x3 - 3*x1 + 3*x2 = 0
Respuesta rápida
$$x_{31} = 0$$
=
$$0$$
=
$$x_{21} = 0$$
=
$$0$$
=
$$x_{11} = 0$$
=
$$0$$
=
=
$$0$$
=
0
$$x_{21} = 0$$
=
$$0$$
=
0
$$x_{11} = 0$$
=
$$0$$
=
0
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$4 x_{3} + \left(2 x_{1} + 3 x_{2}\right) = 0$$
$$x_{3} + \left(6 x_{1} - 2 x_{2}\right) = 0$$
$$x_{3} + \left(- 3 x_{1} + 3 x_{2}\right) = 0$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x_{1} + 3 x_{2} + 4 x_{3} = 0$$
$$6 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = 0$$
$$- 3 x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 4 & 0\\6 & -2 & 1 & 0\\-3 & 3 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}2\\6\\-3\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 4 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}6 - 2 \cdot 3 & - 3 \cdot 3 - 2 & 1 - 3 \cdot 4 & - 0 \cdot 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -11 & -11 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 4 & 0\\0 & -11 & -11 & 0\\-3 & 3 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-3 - \frac{\left(-3\right) 2}{2} & 3 - \frac{\left(-3\right) 3}{2} & 1 - \frac{\left(-3\right) 4}{2} & - \frac{\left(-3\right) 0}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{15}{2} & 7 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 4 & 0\\0 & -11 & -11 & 0\\0 & \frac{15}{2} & 7 & 0\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}3\\-11\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -11 & -11 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}2 - \frac{\left(-3\right) 0}{11} & 3 - - -3 & 4 - - -3 & - \frac{\left(-3\right) 0}{11}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 1 & 0\\0 & -11 & -11 & 0\\0 & \frac{15}{2} & 7 & 0\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-15\right) 0}{22} & \frac{15}{2} - - \frac{-15}{2} & 7 - - \frac{-15}{2} & - \frac{\left(-15\right) 0}{22}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 1 & 0\\0 & -11 & -11 & 0\\0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-11\\- \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}2 - \left(-2\right) 0 & - \left(-2\right) 0 & 1 - - -1 & - \left(-2\right) 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0\\0 & -11 & -11 & 0\\0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- 0 \cdot 22 & -11 - 0 \cdot 22 & -11 - \frac{\left(-1\right) 22}{2} & - 0 \cdot 22\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -11 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0\\0 & -11 & 0 & 0\\0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$2 x_{1} = 0$$
$$- 11 x_{2} = 0$$
$$- \frac{x_{3}}{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 0$$
$$4 x_{3} + \left(2 x_{1} + 3 x_{2}\right) = 0$$
$$x_{3} + \left(6 x_{1} - 2 x_{2}\right) = 0$$
$$x_{3} + \left(- 3 x_{1} + 3 x_{2}\right) = 0$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x_{1} + 3 x_{2} + 4 x_{3} = 0$$
$$6 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = 0$$
$$- 3 x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 4 & 0\\6 & -2 & 1 & 0\\-3 & 3 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}2\\6\\-3\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 4 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}6 - 2 \cdot 3 & - 3 \cdot 3 - 2 & 1 - 3 \cdot 4 & - 0 \cdot 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -11 & -11 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 4 & 0\\0 & -11 & -11 & 0\\-3 & 3 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-3 - \frac{\left(-3\right) 2}{2} & 3 - \frac{\left(-3\right) 3}{2} & 1 - \frac{\left(-3\right) 4}{2} & - \frac{\left(-3\right) 0}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{15}{2} & 7 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 4 & 0\\0 & -11 & -11 & 0\\0 & \frac{15}{2} & 7 & 0\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}3\\-11\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -11 & -11 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}2 - \frac{\left(-3\right) 0}{11} & 3 - - -3 & 4 - - -3 & - \frac{\left(-3\right) 0}{11}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 1 & 0\\0 & -11 & -11 & 0\\0 & \frac{15}{2} & 7 & 0\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-15\right) 0}{22} & \frac{15}{2} - - \frac{-15}{2} & 7 - - \frac{-15}{2} & - \frac{\left(-15\right) 0}{22}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 1 & 0\\0 & -11 & -11 & 0\\0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-11\\- \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}2 - \left(-2\right) 0 & - \left(-2\right) 0 & 1 - - -1 & - \left(-2\right) 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0\\0 & -11 & -11 & 0\\0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- 0 \cdot 22 & -11 - 0 \cdot 22 & -11 - \frac{\left(-1\right) 22}{2} & - 0 \cdot 22\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -11 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0\\0 & -11 & 0 & 0\\0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$2 x_{1} = 0$$
$$- 11 x_{2} = 0$$
$$- \frac{x_{3}}{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 0$$
Regla de Cramer
$$4 x_{3} + \left(2 x_{1} + 3 x_{2}\right) = 0$$
$$x_{3} + \left(6 x_{1} - 2 x_{2}\right) = 0$$
$$x_{3} + \left(- 3 x_{1} + 3 x_{2}\right) = 0$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x_{1} + 3 x_{2} + 4 x_{3} = 0$$
$$6 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = 0$$
$$- 3 x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 3 x_{2} + 4 x_{3}\\6 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3}\\- 3 x_{1} + 3 x_{2} + x_{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 3 & 4\\6 & -2 & 1\\-3 & 3 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 11$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}0 & 3 & 4\\0 & -2 & 1\\0 & 3 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{11} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\\6 & 0 & 1\\-3 & 0 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{11} = 0$$
$$x_{3} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 3 & 0\\6 & -2 & 0\\-3 & 3 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{11} = 0$$
$$x_{3} + \left(6 x_{1} - 2 x_{2}\right) = 0$$
$$x_{3} + \left(- 3 x_{1} + 3 x_{2}\right) = 0$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x_{1} + 3 x_{2} + 4 x_{3} = 0$$
$$6 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = 0$$
$$- 3 x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 3 x_{2} + 4 x_{3}\\6 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3}\\- 3 x_{1} + 3 x_{2} + x_{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 3 & 4\\6 & -2 & 1\\-3 & 3 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 11$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}0 & 3 & 4\\0 & -2 & 1\\0 & 3 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{11} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\\6 & 0 & 1\\-3 & 0 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{11} = 0$$
$$x_{3} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 3 & 0\\6 & -2 & 0\\-3 & 3 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{11} = 0$$
Respuesta numérica
[src]
x11 = -1.550963648536927e-25 x21 = -2.584939414228211e-25 x31 = 3.360421238496675e-25
x12 = 0 x22 = 2.067951531382569e-25 x32 = -2.067951531382569e-25
x13 = -1.033975765691285e-25 x23 = -2.067951531382569e-25 x33 = 2.067951531382569e-25
x14 = -2.067951531382569e-25 x24 = -4.135903062765138e-25 x34 = 5.169878828456423e-25
x15 = 2.067951531382569e-25 x25 = 4.135903062765138e-25 x35 = -5.686866711302065e-25
x16 = -3.101927297073854e-25 x26 = -6.203854594147708e-25 x36 = 8.271806125530277e-25
x17 = 1.550963648536927e-25 x27 = 2.584939414228211e-25 x37 = -3.360421238496675e-25
x18 = 0 x28 = 1.033975765691285e-25 x38 = -1.033975765691285e-25
x19 = -3.360421238496675e-25 x29 = -6.203854594147708e-25 x39 = 8.271806125530277e-25
x110 = 4.135903062765138e-25 x210 = 8.271806125530277e-25 x310 = -1.033975765691285e-24
x111 = -7.754818242684634e-26 x211 = -1.033975765691285e-25 x311 = 1.033975765691285e-25
x112 = -1.809457589959748e-25 x212 = -3.101927297073854e-25 x312 = 4.135903062765138e-25
x113 = -1.033975765691285e-24 x213 = -2.067951531382569e-24 x313 = 2.68833699079734e-24
x114 = -4.135903062765138e-25 x214 = -6.203854594147708e-25 x314 = 8.271806125530277e-25
x115 = 0 x215 = -1.033975765691285e-25 x315 = 1.033975765691285e-25
x116 = -2.067951531382569e-25 x216 = -3.101927297073854e-25 x316 = 4.135903062765138e-25
x117 = 0 x217 = 2.067951531382569e-25 x317 = -3.360421238496675e-25
x118 = 0 x218 = -2.067951531382569e-25 x318 = 2.067951531382569e-25
x119 = 0 x219 = 7.754818242684634e-26 x319 = -1.033975765691285e-25
x120 = 0 x220 = 2.067951531382569e-25 x320 = -3.101927297073854e-25
x121 = 2.067951531382569e-25 x221 = 2.584939414228211e-25 x321 = -3.360421238496675e-25
x122 = 1.033975765691285e-25 x222 = 2.584939414228211e-25 x322 = -3.360421238496675e-25
x123 = -3.101927297073854e-25 x223 = -3.101927297073854e-25 x323 = 4.135903062765138e-25
x124 = 1.033975765691285e-25 x224 = 2.067951531382569e-25 x324 = -2.067951531382569e-25
x125 = -3.618915179919496e-25 x225 = -6.203854594147708e-25 x325 = 8.271806125530277e-25
x126 = 0 x226 = -2.584939414228211e-26 x326 = 2.584939414228211e-26
x127 = 1.033975765691285e-24 x227 = 2.067951531382569e-24 x327 = -2.68833699079734e-24
x127 = 1.033975765691285e-24 x227 = 2.067951531382569e-24 x327 = -2.68833699079734e-24