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Solución de sistemas de ecuaciones/ 2x+y=6; 6x-2y=28

2x+y=6; 6x-2y=28

v

Gráfico:

interior superior

interior superior

Solución

Ha introducido [src] 
2*x + y = 6
2x+y=62 x + y = 6 
6*x - 2*y = 28
6x−2y=286 x - 2 y = 28 
6*x - 2*y = 28
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
2x+y=62 x + y = 6
6x−2y=286 x - 2 y = 28

De ecuación 1 expresamos x
2x+y=62 x + y = 6
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
2x=6−y2 x = 6 - y
2x=6−y2 x = 6 - y
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de x
2x2=6−y2\frac{2 x}{2} = \frac{6 - y}{2}
x=3−y2x = 3 - \frac{y}{2}
Ponemos el resultado x en ecuación 2
6x−2y=286 x - 2 y = 28
Obtenemos:
−2y+6(3−y2)=28- 2 y + 6 \left(3 - \frac{y}{2}\right) = 28
18−5y=2818 - 5 y = 28
Pasamos el sumando libre 18 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
−5y=−18+28- 5 y = -18 + 28
−5y=10- 5 y = 10
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
(−1)5y−5=10−5\frac{\left(-1\right) 5 y}{-5} = \frac{10}{-5}
y=−2y = -2
Como
x=3−y2x = 3 - \frac{y}{2}
entonces
x=3−−1x = 3 - -1
x=4x = 4

Respuesta:
x=4x = 4
y=−2y = -2
Respuesta rápida
x1=4x_{1} = 4
=
44
=
4

y1=−2y_{1} = -2
=
−2-2
=
-2
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
2x+y=62 x + y = 6
6x−2y=286 x - 2 y = 28

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
2x+y=62 x + y = 6
6x−2y=286 x - 2 y = 28
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
[2166−228]\left[\begin{matrix}2 & 1 & 6\\6 & -2 & 28\end{matrix}\right]
En 1 de columna
[26]\left[\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right]
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
[216]\left[\begin{matrix}2 & 1 & 6\end{matrix}\right]
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
[6−2⋅3(−1)3−228−3⋅6]=[0−510]\left[\begin{matrix}6 - 2 \cdot 3 & \left(-1\right) 3 - 2 & 28 - 3 \cdot 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -5 & 10\end{matrix}\right]
obtenemos
[2160−510]\left[\begin{matrix}2 & 1 & 6\\0 & -5 & 10\end{matrix}\right]
En 2 de columna
[1−5]\left[\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right]
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
[0−510]\left[\begin{matrix}0 & -5 & 10\end{matrix}\right]
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
[2−(−1)051−−−16−(−1)105]=[208]\left[\begin{matrix}2 - \frac{\left(-1\right) 0}{5} & 1 - - -1 & 6 - \frac{\left(-1\right) 10}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 8\end{matrix}\right]
obtenemos
[2080−510]\left[\begin{matrix}2 & 0 & 8\\0 & -5 & 10\end{matrix}\right]

Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
2x1−8=02 x_{1} - 8 = 0
−5x2−10=0- 5 x_{2} - 10 = 0
Obtenemos como resultado:
x1=4x_{1} = 4
x2=−2x_{2} = -2
Regla de Cramer
2x+y=62 x + y = 6
6x−2y=286 x - 2 y = 28

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
2x+y=62 x + y = 6
6x−2y=286 x - 2 y = 28
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
[2x1+x26x1−2x2]=[628]\left[\begin{matrix}2 x_{1} + x_{2}\\6 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6\\28\end{matrix}\right]
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B

De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:

Como el determinante de la matriz:
A=det⁡([216−2])=−10A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 1\\6 & -2\end{matrix}\right] \right)} = -10
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
x1=−det⁡([6128−2])10=4x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}6 & 1\\28 & -2\end{matrix}\right] \right)}}{10} = 4
x2=−det⁡([26628])10=−2x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 6\\6 & 28\end{matrix}\right] \right)}}{10} = -2
Respuesta numérica [src] 
x1 = 4.0
y1 = -2.0
x1 = 4.0
y1 = -2.0
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