Sr Examen
2x+y=6; 6x-2y=28
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$2 x + y = 6$$
$$6 x - 2 y = 28$$
De ecuación 1 expresamos x
$$2 x + y = 6$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$2 x = 6 - y$$
$$2 x = 6 - y$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{6 - y}{2}$$
$$x = 3 - \frac{y}{2}$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$6 x - 2 y = 28$$
Obtenemos:
$$- 2 y + 6 \left(3 - \frac{y}{2}\right) = 28$$
$$18 - 5 y = 28$$
Pasamos el sumando libre 18 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- 5 y = -18 + 28$$
$$- 5 y = 10$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) 5 y}{-5} = \frac{10}{-5}$$
$$y = -2$$
Como
$$x = 3 - \frac{y}{2}$$
entonces
$$x = 3 - -1$$
$$x = 4$$
Respuesta:
$$x = 4$$
$$y = -2$$
$$2 x + y = 6$$
$$6 x - 2 y = 28$$
De ecuación 1 expresamos x
$$2 x + y = 6$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$2 x = 6 - y$$
$$2 x = 6 - y$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{6 - y}{2}$$
$$x = 3 - \frac{y}{2}$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$6 x - 2 y = 28$$
Obtenemos:
$$- 2 y + 6 \left(3 - \frac{y}{2}\right) = 28$$
$$18 - 5 y = 28$$
Pasamos el sumando libre 18 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- 5 y = -18 + 28$$
$$- 5 y = 10$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) 5 y}{-5} = \frac{10}{-5}$$
$$y = -2$$
Como
$$x = 3 - \frac{y}{2}$$
entonces
$$x = 3 - -1$$
$$x = 4$$
Respuesta:
$$x = 4$$
$$y = -2$$
Respuesta rápida
$$x_{1} = 4$$
=
$$4$$
=
$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
=
$$4$$
=
4
$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
-2
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$2 x + y = 6$$
$$6 x - 2 y = 28$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x + y = 6$$
$$6 x - 2 y = 28$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 6\\6 & -2 & 28\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 6\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}6 - 2 \cdot 3 & \left(-1\right) 3 - 2 & 28 - 3 \cdot 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -5 & 10\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 6\\0 & -5 & 10\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & 10\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}2 - \frac{\left(-1\right) 0}{5} & 1 - - -1 & 6 - \frac{\left(-1\right) 10}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 8\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 8\\0 & -5 & 10\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$2 x_{1} - 8 = 0$$
$$- 5 x_{2} - 10 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -2$$
$$2 x + y = 6$$
$$6 x - 2 y = 28$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x + y = 6$$
$$6 x - 2 y = 28$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 6\\6 & -2 & 28\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 6\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}6 - 2 \cdot 3 & \left(-1\right) 3 - 2 & 28 - 3 \cdot 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -5 & 10\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 6\\0 & -5 & 10\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & 10\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}2 - \frac{\left(-1\right) 0}{5} & 1 - - -1 & 6 - \frac{\left(-1\right) 10}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 8\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 8\\0 & -5 & 10\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$2 x_{1} - 8 = 0$$
$$- 5 x_{2} - 10 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -2$$
Regla de Cramer
$$2 x + y = 6$$
$$6 x - 2 y = 28$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x + y = 6$$
$$6 x - 2 y = 28$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + x_{2}\\6 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6\\28\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 1\\6 & -2\end{matrix}\right] \right)} = -10$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}6 & 1\\28 & -2\end{matrix}\right] \right)}}{10} = 4$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 6\\6 & 28\end{matrix}\right] \right)}}{10} = -2$$
$$6 x - 2 y = 28$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x + y = 6$$
$$6 x - 2 y = 28$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + x_{2}\\6 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6\\28\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 1\\6 & -2\end{matrix}\right] \right)} = -10$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}6 & 1\\28 & -2\end{matrix}\right] \right)}}{10} = 4$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 6\\6 & 28\end{matrix}\right] \right)}}{10} = -2$$