Sr Examen
4x-2y=-6; 6x+y=11
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$4 x - 2 y = -6$$
$$6 x + y = 11$$
De ecuación 1 expresamos x
$$4 x - 2 y = -6$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$4 x = 2 y - 6$$
$$4 x = 2 y - 6$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{2 y - 6}{4}$$
$$x = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$6 x + y = 11$$
Obtenemos:
$$y + 6 \left(\frac{y}{2} - \frac{3}{2}\right) = 11$$
$$4 y - 9 = 11$$
Pasamos el sumando libre -9 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$4 y = 9 + 11$$
$$4 y = 20$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{4 y}{4} = \frac{20}{4}$$
$$y = 5$$
Como
$$x = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$$
entonces
$$x = - \frac{3}{2} + \frac{5}{2}$$
$$x = 1$$
Respuesta:
$$x = 1$$
$$y = 5$$
$$4 x - 2 y = -6$$
$$6 x + y = 11$$
De ecuación 1 expresamos x
$$4 x - 2 y = -6$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$4 x = 2 y - 6$$
$$4 x = 2 y - 6$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{2 y - 6}{4}$$
$$x = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$6 x + y = 11$$
Obtenemos:
$$y + 6 \left(\frac{y}{2} - \frac{3}{2}\right) = 11$$
$$4 y - 9 = 11$$
Pasamos el sumando libre -9 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$4 y = 9 + 11$$
$$4 y = 20$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{4 y}{4} = \frac{20}{4}$$
$$y = 5$$
Como
$$x = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$$
entonces
$$x = - \frac{3}{2} + \frac{5}{2}$$
$$x = 1$$
Respuesta:
$$x = 1$$
$$y = 5$$
Respuesta rápida
$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
$$y_{1} = 5$$
=
$$5$$
=
=
$$1$$
=
1
$$y_{1} = 5$$
=
$$5$$
=
5
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$4 x - 2 y = -6$$
$$6 x + y = 11$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$4 x - 2 y = -6$$
$$6 x + y = 11$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}4 & -2 & -6\\6 & 1 & 11\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}4 & -2 & -6\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}6 - \frac{3 \cdot 4}{2} & 1 - - 3 & 11 - - 9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 4 & 20\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & -2 & -6\\0 & 4 & 20\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 20\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}4 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & -2 - \frac{\left(-1\right) 4}{2} & -6 - \frac{\left(-1\right) 20}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 4\\0 & 4 & 20\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$4 x_{1} - 4 = 0$$
$$4 x_{2} - 20 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
$$4 x - 2 y = -6$$
$$6 x + y = 11$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$4 x - 2 y = -6$$
$$6 x + y = 11$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}4 & -2 & -6\\6 & 1 & 11\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}4 & -2 & -6\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}6 - \frac{3 \cdot 4}{2} & 1 - - 3 & 11 - - 9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 4 & 20\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & -2 & -6\\0 & 4 & 20\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 20\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}4 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & -2 - \frac{\left(-1\right) 4}{2} & -6 - \frac{\left(-1\right) 20}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 4\\0 & 4 & 20\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$4 x_{1} - 4 = 0$$
$$4 x_{2} - 20 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
Regla de Cramer
$$4 x - 2 y = -6$$
$$6 x + y = 11$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$4 x - 2 y = -6$$
$$6 x + y = 11$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} - 2 x_{2}\\6 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & -2\\6 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 16$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-6 & -2\\11 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{16} = 1$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & -6\\6 & 11\end{matrix}\right] \right)}}{16} = 5$$
$$6 x + y = 11$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$4 x - 2 y = -6$$
$$6 x + y = 11$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} - 2 x_{2}\\6 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & -2\\6 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 16$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-6 & -2\\11 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{16} = 1$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & -6\\6 & 11\end{matrix}\right] \right)}}{16} = 5$$