Sr Examen
4x1+x2-4x3=5; 3x1-4x2-x3=-1; 4x1-x2-4x3=3
Solución
Ha introducido
[src]
4*x1 + x2 - 4*x3 = 5
$$- 4 x_{3} + \left(4 x_{1} + x_{2}\right) = 5$$
3*x1 - 4*x2 - x3 = -1
$$- x_{3} + \left(3 x_{1} - 4 x_{2}\right) = -1$$
4*x1 - x2 - 4*x3 = 3
$$- 4 x_{3} + \left(4 x_{1} - x_{2}\right) = 3$$
-4*x3 + 4*x1 - x2 = 3
Respuesta rápida
$$x_{11} = 1$$
=
$$1$$
=
$$x_{21} = 1$$
=
$$1$$
=
$$x_{31} = 0$$
=
$$0$$
=
=
$$1$$
=
1
$$x_{21} = 1$$
=
$$1$$
=
1
$$x_{31} = 0$$
=
$$0$$
=
0
Regla de Cramer
$$- 4 x_{3} + \left(4 x_{1} + x_{2}\right) = 5$$
$$- x_{3} + \left(3 x_{1} - 4 x_{2}\right) = -1$$
$$- 4 x_{3} + \left(4 x_{1} - x_{2}\right) = 3$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$4 x_{1} + x_{2} - 4 x_{3} = 5$$
$$3 x_{1} - 4 x_{2} - x_{3} = -1$$
$$4 x_{1} - x_{2} - 4 x_{3} = 3$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} + x_{2} - 4 x_{3}\\3 x_{1} - 4 x_{2} - x_{3}\\4 x_{1} - x_{2} - 4 x_{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\-1\\3\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & 1 & -4\\3 & -4 & -1\\4 & -1 & -4\end{matrix}\right] \right)} = 16$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}5 & 1 & -4\\-1 & -4 & -1\\3 & -1 & -4\end{matrix}\right] \right)}}{16} = 1$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & 5 & -4\\3 & -1 & -1\\4 & 3 & -4\end{matrix}\right] \right)}}{16} = 1$$
$$x_{3} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & 1 & 5\\3 & -4 & -1\\4 & -1 & 3\end{matrix}\right] \right)}}{16} = 0$$
$$- x_{3} + \left(3 x_{1} - 4 x_{2}\right) = -1$$
$$- 4 x_{3} + \left(4 x_{1} - x_{2}\right) = 3$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$4 x_{1} + x_{2} - 4 x_{3} = 5$$
$$3 x_{1} - 4 x_{2} - x_{3} = -1$$
$$4 x_{1} - x_{2} - 4 x_{3} = 3$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} + x_{2} - 4 x_{3}\\3 x_{1} - 4 x_{2} - x_{3}\\4 x_{1} - x_{2} - 4 x_{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\-1\\3\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & 1 & -4\\3 & -4 & -1\\4 & -1 & -4\end{matrix}\right] \right)} = 16$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}5 & 1 & -4\\-1 & -4 & -1\\3 & -1 & -4\end{matrix}\right] \right)}}{16} = 1$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & 5 & -4\\3 & -1 & -1\\4 & 3 & -4\end{matrix}\right] \right)}}{16} = 1$$
$$x_{3} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & 1 & 5\\3 & -4 & -1\\4 & -1 & 3\end{matrix}\right] \right)}}{16} = 0$$
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$- 4 x_{3} + \left(4 x_{1} + x_{2}\right) = 5$$
$$- x_{3} + \left(3 x_{1} - 4 x_{2}\right) = -1$$
$$- 4 x_{3} + \left(4 x_{1} - x_{2}\right) = 3$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$4 x_{1} + x_{2} - 4 x_{3} = 5$$
$$3 x_{1} - 4 x_{2} - x_{3} = -1$$
$$4 x_{1} - x_{2} - 4 x_{3} = 3$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & -4 & 5\\3 & -4 & -1 & -1\\4 & -1 & -4 & 3\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}4\\3\\4\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & -4 & 5\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}3 - \frac{3 \cdot 4}{4} & -4 + \frac{\left(-1\right) 3}{4} & -1 - - 3 & - \frac{3 \cdot 5}{4} - 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{19}{4} & 2 & - \frac{19}{4}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & -4 & 5\\0 & - \frac{19}{4} & 2 & - \frac{19}{4}\\4 & -1 & -4 & 3\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 4 + 4 & -1 - 1 & -4 - -4 & \left(-1\right) 5 + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & -4 & 5\\0 & - \frac{19}{4} & 2 & - \frac{19}{4}\\0 & -2 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{19}{4}\\-2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}4 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & 1 - - -1 & -4 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & 5 - - -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & -4 & 4\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -4 & 4\\0 & - \frac{19}{4} & 2 & - \frac{19}{4}\\0 & -2 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{0 \cdot 19}{8} & - \frac{19}{4} - - \frac{19}{4} & 2 - \frac{0 \cdot 19}{8} & - \frac{19}{4} - - \frac{19}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -4 & 4\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & -2 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}-4\\2\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}4 - \left(-2\right) 0 & - \left(-2\right) 0 & -4 - \left(-2\right) 2 & 4 - \left(-2\right) 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & -2 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$4 x_{1} - 4 = 0$$
$$2 x_{3} = 0$$
$$2 - 2 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$- 4 x_{3} + \left(4 x_{1} + x_{2}\right) = 5$$
$$- x_{3} + \left(3 x_{1} - 4 x_{2}\right) = -1$$
$$- 4 x_{3} + \left(4 x_{1} - x_{2}\right) = 3$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$4 x_{1} + x_{2} - 4 x_{3} = 5$$
$$3 x_{1} - 4 x_{2} - x_{3} = -1$$
$$4 x_{1} - x_{2} - 4 x_{3} = 3$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & -4 & 5\\3 & -4 & -1 & -1\\4 & -1 & -4 & 3\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}4\\3\\4\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & -4 & 5\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}3 - \frac{3 \cdot 4}{4} & -4 + \frac{\left(-1\right) 3}{4} & -1 - - 3 & - \frac{3 \cdot 5}{4} - 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{19}{4} & 2 & - \frac{19}{4}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & -4 & 5\\0 & - \frac{19}{4} & 2 & - \frac{19}{4}\\4 & -1 & -4 & 3\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 4 + 4 & -1 - 1 & -4 - -4 & \left(-1\right) 5 + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & -4 & 5\\0 & - \frac{19}{4} & 2 & - \frac{19}{4}\\0 & -2 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{19}{4}\\-2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}4 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & 1 - - -1 & -4 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & 5 - - -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & -4 & 4\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -4 & 4\\0 & - \frac{19}{4} & 2 & - \frac{19}{4}\\0 & -2 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{0 \cdot 19}{8} & - \frac{19}{4} - - \frac{19}{4} & 2 - \frac{0 \cdot 19}{8} & - \frac{19}{4} - - \frac{19}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & -4 & 4\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & -2 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}-4\\2\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}4 - \left(-2\right) 0 & - \left(-2\right) 0 & -4 - \left(-2\right) 2 & 4 - \left(-2\right) 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & -2 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$4 x_{1} - 4 = 0$$
$$2 x_{3} = 0$$
$$2 - 2 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{2} = 1$$