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Solución de sistemas de ecuaciones/ x+y=140; x-y=40

x+y=140; x-y=40

v

Gráfico:

interior superior

interior superior

Solución

Ha introducido [src] 
x + y = 140
x+y=140x + y = 140 
x - y = 40
x−y=40x - y = 40 
x - y = 40
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
x+y=140x + y = 140
x−y=40x - y = 40

De ecuación 1 expresamos x
x+y=140x + y = 140
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
x=140−yx = 140 - y
x=140−yx = 140 - y
Ponemos el resultado x en ecuación 2
x−y=40x - y = 40
Obtenemos:
−y+(140−y)=40- y + \left(140 - y\right) = 40
140−2y=40140 - 2 y = 40
Pasamos el sumando libre 140 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
−2y=−140+40- 2 y = -140 + 40
−2y=−100- 2 y = -100
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
(−1)2y−2=−100−2\frac{\left(-1\right) 2 y}{-2} = - \frac{100}{-2}
y=50y = 50
Como
x=140−yx = 140 - y
entonces
x=140−50x = 140 - 50
x=90x = 90

Respuesta:
x=90x = 90
y=50y = 50
Respuesta rápida
x1=90x_{1} = 90
=
9090
=
90

y1=50y_{1} = 50
=
5050
=
50
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
x+y=140x + y = 140
x−y=40x - y = 40

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
x+y=140x + y = 140
x−y=40x - y = 40
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
[111401−140]\left[\begin{matrix}1 & 1 & 140\\1 & -1 & 40\end{matrix}\right]
En 1 de columna
[11]\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
[11140]\left[\begin{matrix}1 & 1 & 140\end{matrix}\right]
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
[−1+1−1−1(−1)140+40]=[0−2−100]\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -1 - 1 & \left(-1\right) 140 + 40\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -100\end{matrix}\right]
obtenemos
[111400−2−100]\left[\begin{matrix}1 & 1 & 140\\0 & -2 & -100\end{matrix}\right]
En 2 de columna
[1−2]\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
[0−2−100]\left[\begin{matrix}0 & -2 & -100\end{matrix}\right]
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
[1−(−1)021−−−1140−−−50]=[1090]\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & 1 - - -1 & 140 - - -50\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 90\end{matrix}\right]
obtenemos
[10900−2−100]\left[\begin{matrix}1 & 0 & 90\\0 & -2 & -100\end{matrix}\right]

Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
x1−90=0x_{1} - 90 = 0
100−2x2=0100 - 2 x_{2} = 0
Obtenemos como resultado:
x1=90x_{1} = 90
x2=50x_{2} = 50
Regla de Cramer
x+y=140x + y = 140
x−y=40x - y = 40

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
x+y=140x + y = 140
x−y=40x - y = 40
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
[x1+x2x1−x2]=[14040]\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}140\\40\end{matrix}\right]
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B

De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:

Como el determinante de la matriz:
A=det⁡([111−1])=−2A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right)} = -2
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
x1=−det⁡([140140−1])2=90x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}140 & 1\\40 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 90
x2=−det⁡([1140140])2=50x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 140\\1 & 40\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 50
Respuesta numérica [src] 
x1 = 90.0
y1 = 50.0
x1 = 90.0
y1 = 50.0
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