Sr Examen
x+y=140; x-y=40
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x + y = 140$$
$$x - y = 40$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x + y = 140$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = 140 - y$$
$$x = 140 - y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$x - y = 40$$
Obtenemos:
$$- y + \left(140 - y\right) = 40$$
$$140 - 2 y = 40$$
Pasamos el sumando libre 140 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- 2 y = -140 + 40$$
$$- 2 y = -100$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) 2 y}{-2} = - \frac{100}{-2}$$
$$y = 50$$
Como
$$x = 140 - y$$
entonces
$$x = 140 - 50$$
$$x = 90$$
Respuesta:
$$x = 90$$
$$y = 50$$
$$x + y = 140$$
$$x - y = 40$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x + y = 140$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = 140 - y$$
$$x = 140 - y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$x - y = 40$$
Obtenemos:
$$- y + \left(140 - y\right) = 40$$
$$140 - 2 y = 40$$
Pasamos el sumando libre 140 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- 2 y = -140 + 40$$
$$- 2 y = -100$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) 2 y}{-2} = - \frac{100}{-2}$$
$$y = 50$$
Como
$$x = 140 - y$$
entonces
$$x = 140 - 50$$
$$x = 90$$
Respuesta:
$$x = 90$$
$$y = 50$$
Respuesta rápida
$$x_{1} = 90$$
=
$$90$$
=
$$y_{1} = 50$$
=
$$50$$
=
=
$$90$$
=
90
$$y_{1} = 50$$
=
$$50$$
=
50
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x + y = 140$$
$$x - y = 40$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 140$$
$$x - y = 40$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 140\\1 & -1 & 40\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 140\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -1 - 1 & \left(-1\right) 140 + 40\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -100\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 140\\0 & -2 & -100\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -100\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & 1 - - -1 & 140 - - -50\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 90\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 90\\0 & -2 & -100\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 90 = 0$$
$$100 - 2 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 90$$
$$x_{2} = 50$$
$$x + y = 140$$
$$x - y = 40$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 140$$
$$x - y = 40$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 140\\1 & -1 & 40\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 140\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -1 - 1 & \left(-1\right) 140 + 40\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -100\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 140\\0 & -2 & -100\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -100\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & 1 - - -1 & 140 - - -50\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 90\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 90\\0 & -2 & -100\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 90 = 0$$
$$100 - 2 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 90$$
$$x_{2} = 50$$
Regla de Cramer
$$x + y = 140$$
$$x - y = 40$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 140$$
$$x - y = 40$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}140\\40\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right)} = -2$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}140 & 1\\40 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 90$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 140\\1 & 40\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 50$$
$$x - y = 40$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 140$$
$$x - y = 40$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}140\\40\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right)} = -2$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}140 & 1\\40 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 90$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 140\\1 & 40\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 50$$