Sr Examen
2x+3y-z=-7; x-2y+z=3; x+2y=2
Solución
Ha introducido
[src]
2*x + 3*y - z = -7
$$- z + \left(2 x + 3 y\right) = -7$$
x - 2*y + z = 3
$$z + \left(x - 2 y\right) = 3$$
x + 2*y = 2
$$x + 2 y = 2$$
x + 2*y = 2
Respuesta rápida
$$x_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
$$z_{1} = 9$$
=
$$9$$
=
=
$$-2$$
=
-2
$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
2
$$z_{1} = 9$$
=
$$9$$
=
9
Regla de Cramer
$$- z + \left(2 x + 3 y\right) = -7$$
$$z + \left(x - 2 y\right) = 3$$
$$x + 2 y = 2$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x + 3 y - z = -7$$
$$x - 2 y + z = 3$$
$$x + 2 y = 2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 3 x_{2} - x_{3}\\x_{1} - 2 x_{2} + x_{3}\\x_{1} + 2 x_{2} + 0 x_{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-7\\3\\2\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 3 & -1\\1 & -2 & 1\\1 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right)} = -5$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-7 & 3 & -1\\3 & -2 & 1\\2 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{5} = -2$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & -7 & -1\\1 & 3 & 1\\1 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{5} = 2$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 3 & -7\\1 & -2 & 3\\1 & 2 & 2\end{matrix}\right] \right)}}{5} = 9$$
$$z + \left(x - 2 y\right) = 3$$
$$x + 2 y = 2$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x + 3 y - z = -7$$
$$x - 2 y + z = 3$$
$$x + 2 y = 2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 3 x_{2} - x_{3}\\x_{1} - 2 x_{2} + x_{3}\\x_{1} + 2 x_{2} + 0 x_{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-7\\3\\2\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 3 & -1\\1 & -2 & 1\\1 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right)} = -5$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-7 & 3 & -1\\3 & -2 & 1\\2 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{5} = -2$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & -7 & -1\\1 & 3 & 1\\1 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{5} = 2$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 3 & -7\\1 & -2 & 3\\1 & 2 & 2\end{matrix}\right] \right)}}{5} = 9$$
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$- z + \left(2 x + 3 y\right) = -7$$
$$z + \left(x - 2 y\right) = 3$$
$$x + 2 y = 2$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x + 3 y - z = -7$$
$$x - 2 y + z = 3$$
$$x + 2 y = 2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & -1 & -7\\1 & -2 & 1 & 3\\1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}2\\1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & 3 - 2 \cdot 2 & -1 - 0 \cdot 2 & -7 - 2 \cdot 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\\1 & -2 & 1 & 3\\1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -2 + \left(-1\right) 2 & \left(-1\right) 0 + 1 & \left(-1\right) 2 + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\\0 & -4 & 1 & 1\\1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\-4\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- 0 \cdot 4 & -4 - - 4 & 1 - - 4 & 1 - - 44\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 5 & 45\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\\0 & 0 & 5 & 45\\1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \left(-2\right) 0 & 2 - - -2 & - \left(-2\right) \left(-1\right) & 2 - - -22\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & -2 & -20\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\\0 & 0 & 5 & 45\\1 & 0 & -2 & -20\end{matrix}\right]$$
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\5\\-2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 5 & 45\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-1\right) 0}{5} & -1 - \frac{\left(-1\right) 0}{5} & -1 - \frac{\left(-1\right) 5}{5} & -11 - \frac{\left(-1\right) 45}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -2\\0 & 0 & 5 & 45\\1 & 0 & -2 & -20\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-2\right) 0}{5} & - \frac{\left(-2\right) 0}{5} & -2 - \frac{\left(-2\right) 5}{5} & -20 - \frac{\left(-2\right) 45}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -2\\0 & 0 & 5 & 45\\1 & 0 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$2 - x_{2} = 0$$
$$5 x_{3} - 45 = 0$$
$$x_{1} + 2 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 9$$
$$x_{1} = -2$$
$$- z + \left(2 x + 3 y\right) = -7$$
$$z + \left(x - 2 y\right) = 3$$
$$x + 2 y = 2$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x + 3 y - z = -7$$
$$x - 2 y + z = 3$$
$$x + 2 y = 2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & -1 & -7\\1 & -2 & 1 & 3\\1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}2\\1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & 3 - 2 \cdot 2 & -1 - 0 \cdot 2 & -7 - 2 \cdot 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\\1 & -2 & 1 & 3\\1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -2 + \left(-1\right) 2 & \left(-1\right) 0 + 1 & \left(-1\right) 2 + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\\0 & -4 & 1 & 1\\1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\-4\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- 0 \cdot 4 & -4 - - 4 & 1 - - 4 & 1 - - 44\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 5 & 45\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\\0 & 0 & 5 & 45\\1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \left(-2\right) 0 & 2 - - -2 & - \left(-2\right) \left(-1\right) & 2 - - -22\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & -2 & -20\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\\0 & 0 & 5 & 45\\1 & 0 & -2 & -20\end{matrix}\right]$$
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\5\\-2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 5 & 45\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-1\right) 0}{5} & -1 - \frac{\left(-1\right) 0}{5} & -1 - \frac{\left(-1\right) 5}{5} & -11 - \frac{\left(-1\right) 45}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -2\\0 & 0 & 5 & 45\\1 & 0 & -2 & -20\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-2\right) 0}{5} & - \frac{\left(-2\right) 0}{5} & -2 - \frac{\left(-2\right) 5}{5} & -20 - \frac{\left(-2\right) 45}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -2\\0 & 0 & 5 & 45\\1 & 0 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$2 - x_{2} = 0$$
$$5 x_{3} - 45 = 0$$
$$x_{1} + 2 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 9$$
$$x_{1} = -2$$