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Solución de sistemas de ecuaciones/ 2x+3y-z=-7; x-2y+z=3; x+2y=2

2x+3y-z=-7; x-2y+z=3; x+2y=2

v

Gráfico:

interior superior

interior superior

Solución

Ha introducido [src] 
2*x + 3*y - z = -7
−z+(2x+3y)=−7- z + \left(2 x + 3 y\right) = -7 
x - 2*y + z = 3
z+(x−2y)=3z + \left(x - 2 y\right) = 3 
x + 2*y = 2
x+2y=2x + 2 y = 2 
x + 2*y = 2
Respuesta rápida
x1=−2x_{1} = -2
=
−2-2
=
-2

y1=2y_{1} = 2
=
22
=
2

z1=9z_{1} = 9
=
99
=
9
Regla de Cramer
−z+(2x+3y)=−7- z + \left(2 x + 3 y\right) = -7
z+(x−2y)=3z + \left(x - 2 y\right) = 3
x+2y=2x + 2 y = 2

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
2x+3y−z=−72 x + 3 y - z = -7
x−2y+z=3x - 2 y + z = 3
x+2y=2x + 2 y = 2
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
[2x1+3x2−x3x1−2x2+x3x1+2x2+0x3]=[−732]\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 3 x_{2} - x_{3}\\x_{1} - 2 x_{2} + x_{3}\\x_{1} + 2 x_{2} + 0 x_{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-7\\3\\2\end{matrix}\right]
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B

De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:

Como el determinante de la matriz:
A=det⁡([23−11−21120])=−5A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 3 & -1\\1 & -2 & 1\\1 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right)} = -5
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
x1=−det⁡([−73−13−21220])5=−2x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-7 & 3 & -1\\3 & -2 & 1\\2 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{5} = -2
x2=−det⁡([2−7−1131120])5=2x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & -7 & -1\\1 & 3 & 1\\1 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{5} = 2
x3=−det⁡([23−71−23122])5=9x_{3} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 3 & -7\\1 & -2 & 3\\1 & 2 & 2\end{matrix}\right] \right)}}{5} = 9
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
−z+(2x+3y)=−7- z + \left(2 x + 3 y\right) = -7
z+(x−2y)=3z + \left(x - 2 y\right) = 3
x+2y=2x + 2 y = 2

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
2x+3y−z=−72 x + 3 y - z = -7
x−2y+z=3x - 2 y + z = 3
x+2y=2x + 2 y = 2
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
[23−1−71−2131202]\left[\begin{matrix}2 & 3 & -1 & -7\\1 & -2 & 1 & 3\\1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]
En 1 de columna
[211]\left[\begin{matrix}2\\1\\1\end{matrix}\right]
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
[1202]\left[\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
[(−1)2+23−2⋅2−1−0⋅2−7−2⋅2]=[0−1−1−11]\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & 3 - 2 \cdot 2 & -1 - 0 \cdot 2 & -7 - 2 \cdot 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\end{matrix}\right]
obtenemos
[0−1−1−111−2131202]\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\\1 & -2 & 1 & 3\\1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]
De 2 de fila restamos:
[−1+1−2+(−1)2(−1)0+1(−1)2+3]=[0−411]\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -2 + \left(-1\right) 2 & \left(-1\right) 0 + 1 & \left(-1\right) 2 + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & 1 & 1\end{matrix}\right]
obtenemos
[0−1−1−110−4111202]\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\\0 & -4 & 1 & 1\\1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]
En 2 de columna
[−1−42]\left[\begin{matrix}-1\\-4\\2\end{matrix}\right]
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
[0−1−1−11]\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\end{matrix}\right]
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
[−0⋅4−4−−41−−41−−44]=[00545]\left[\begin{matrix}- 0 \cdot 4 & -4 - - 4 & 1 - - 4 & 1 - - 44\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 5 & 45\end{matrix}\right]
obtenemos
[0−1−1−11005451202]\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\\0 & 0 & 5 & 45\\1 & 2 & 0 & 2\end{matrix}\right]
De 3 de fila restamos:
[1−(−2)02−−−2−(−2)(−1)2−−−22]=[10−2−20]\left[\begin{matrix}1 - \left(-2\right) 0 & 2 - - -2 & - \left(-2\right) \left(-1\right) & 2 - - -22\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & -2 & -20\end{matrix}\right]
obtenemos
[0−1−1−110054510−2−20]\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -11\\0 & 0 & 5 & 45\\1 & 0 & -2 & -20\end{matrix}\right]
En 3 de columna
[−15−2]\left[\begin{matrix}-1\\5\\-2\end{matrix}\right]
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
[00545]\left[\begin{matrix}0 & 0 & 5 & 45\end{matrix}\right]
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
[−(−1)05−1−(−1)05−1−(−1)55−11−(−1)455]=[0−10−2]\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-1\right) 0}{5} & -1 - \frac{\left(-1\right) 0}{5} & -1 - \frac{\left(-1\right) 5}{5} & -11 - \frac{\left(-1\right) 45}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -2\end{matrix}\right]
obtenemos
[0−10−20054510−2−20]\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -2\\0 & 0 & 5 & 45\\1 & 0 & -2 & -20\end{matrix}\right]
De 3 de fila restamos:
[1−(−2)05−(−2)05−2−(−2)55−20−(−2)455]=[100−2]\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-2\right) 0}{5} & - \frac{\left(-2\right) 0}{5} & -2 - \frac{\left(-2\right) 5}{5} & -20 - \frac{\left(-2\right) 45}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -2\end{matrix}\right]
obtenemos
[0−10−200545100−2]\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -2\\0 & 0 & 5 & 45\\1 & 0 & 0 & -2\end{matrix}\right]

Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
2−x2=02 - x_{2} = 0
5x3−45=05 x_{3} - 45 = 0
x1+2=0x_{1} + 2 = 0
Obtenemos como resultado:
x2=2x_{2} = 2
x3=9x_{3} = 9
x1=−2x_{1} = -2
Respuesta numérica [src] 
x1 = -2.0
y1 = 2.0
z1 = 9.0
x1 = -2.0
y1 = 2.0
z1 = 9.0
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