x1+x2+2x3=1; x1−3x2+x3=−6

Tenemos el sistema de ecuaciones
$$2 x_{3} + \left(x_{1} + x_{2}\right) = 1$$
$$x_{3} + \left(x_{1} - 3 x_{2}\right) = -6$$

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 1$$
$$x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = -6$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1\\1 & -3 & 1 & -6\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -3 - 1 & \left(-1\right) 2 + 1 & -6 - 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & -1 & -7\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1\\0 & -4 & -1 & -7\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -1 & -7\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{4} & 1 - - -1 & 2 - - \frac{-1}{4} & 1 - - \frac{-7}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{3}{4}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{3}{4}\\0 & -4 & -1 & -7\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{3}{4}\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -1 & -7\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:

Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} + \frac{7 x_{3}}{4} + \frac{3}{4} = 0$$
$$- 4 x_{2} - x_{3} + 7 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = - \frac{7 x_{3}}{4} - \frac{3}{4}$$
$$x_{2} = \frac{7}{4} - \frac{x_{3}}{4}$$
donde x3 - variables libres