x+y+z=3; 2x-y-z=0; x+y+z=3

Tenemos el sistema de ecuaciones
$$z + \left(x + y\right) = 3$$
$$- z + \left(2 x - y\right) = 0$$
$$z + \left(x + y\right) = 3$$

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y + z = 3$$
$$2 x - y - z = 0$$
$$x + y + z = 3$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 3\\2 & -1 & -1 & 0\\1 & 1 & 1 & 3\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 3\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & \left(-1\right) 2 - 1 & \left(-1\right) 2 - 1 & - 2 \cdot 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & -3 & -6\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 3\\0 & -3 & -3 & -6\\1 & 1 & 1 & 3\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -1 + 1 & -1 + 1 & \left(-1\right) 3 + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 3\\0 & -3 & -3 & -6\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-3\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -3 & -6\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{3} & 1 - - -1 & 1 - - -1 & 3 - - -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & -3 & -3 & -6\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\-3\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -3 & -6\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:

Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 1 = 0$$
$$- 3 x_{2} - 3 x_{3} + 6 = 0$$
$$0 - 0 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2 - x_{3}$$
donde x3 - variables libres