Sr Examen
x+y=12; x−y=2
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x + y = 12$$
$$x - y = 2$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x + y = 12$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = 12 - y$$
$$x = 12 - y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$x - y = 2$$
Obtenemos:
$$- y + \left(12 - y\right) = 2$$
$$12 - 2 y = 2$$
Pasamos el sumando libre 12 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- 2 y = -12 + 2$$
$$- 2 y = -10$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) 2 y}{-2} = - \frac{10}{-2}$$
$$y = 5$$
Como
$$x = 12 - y$$
entonces
$$x = 12 - 5$$
$$x = 7$$
Respuesta:
$$x = 7$$
$$y = 5$$
$$x + y = 12$$
$$x - y = 2$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x + y = 12$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = 12 - y$$
$$x = 12 - y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$x - y = 2$$
Obtenemos:
$$- y + \left(12 - y\right) = 2$$
$$12 - 2 y = 2$$
Pasamos el sumando libre 12 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- 2 y = -12 + 2$$
$$- 2 y = -10$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) 2 y}{-2} = - \frac{10}{-2}$$
$$y = 5$$
Como
$$x = 12 - y$$
entonces
$$x = 12 - 5$$
$$x = 7$$
Respuesta:
$$x = 7$$
$$y = 5$$
Respuesta rápida
$$x_{1} = 7$$
=
$$7$$
=
$$y_{1} = 5$$
=
$$5$$
=
=
$$7$$
=
7
$$y_{1} = 5$$
=
$$5$$
=
5
Regla de Cramer
$$x + y = 12$$
$$x - y = 2$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 12$$
$$x - y = 2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right)} = -2$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}12 & 1\\2 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 7$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 12\\1 & 2\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 5$$
$$x - y = 2$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 12$$
$$x - y = 2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}12\\2\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right)} = -2$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}12 & 1\\2 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 7$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 12\\1 & 2\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 5$$
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x + y = 12$$
$$x - y = 2$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 12$$
$$x - y = 2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 12\\1 & -1 & 2\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 12\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -1 - 1 & \left(-1\right) 12 + 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 12\\0 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & 1 - - -1 & 12 - - -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 7\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 7\\0 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 7 = 0$$
$$10 - 2 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 5$$
$$x + y = 12$$
$$x - y = 2$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 12$$
$$x - y = 2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 12\\1 & -1 & 2\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 12\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -1 - 1 & \left(-1\right) 12 + 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 12\\0 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & 1 - - -1 & 12 - - -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 7\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 7\\0 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 7 = 0$$
$$10 - 2 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 5$$