Sr Examen
x1+x2+2x3=1; x2−x3=0; 2x2+x3=3
Solución
Ha introducido
[src]
x1 + x2 + 2*x3 = 1
$$2 x_{3} + \left(x_{1} + x_{2}\right) = 1$$
x2 - x3 = 0
$$x_{2} - x_{3} = 0$$
2*x2 + x3 = 3
$$2 x_{2} + x_{3} = 3$$
2*x2 + x3 = 3
Respuesta rápida
$$x_{11} = -2$$
=
$$-2$$
=
$$x_{21} = 1$$
=
$$1$$
=
$$x_{31} = 1$$
=
$$1$$
=
=
$$-2$$
=
-2
$$x_{21} = 1$$
=
$$1$$
=
1
$$x_{31} = 1$$
=
$$1$$
=
1
Regla de Cramer
$$2 x_{3} + \left(x_{1} + x_{2}\right) = 1$$
$$x_{2} - x_{3} = 0$$
$$2 x_{2} + x_{3} = 3$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 1$$
$$x_{2} - x_{3} = 0$$
$$2 x_{2} + x_{3} = 3$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2} + 2 x_{3}\\0 x_{1} + x_{2} - x_{3}\\0 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\0\\3\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2\\0 & 1 & -1\\0 & 2 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 3$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2\\0 & 1 & -1\\3 & 2 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{3} = -2$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2\\0 & 0 & -1\\0 & 3 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{3} = 1$$
$$x_{3} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 2 & 3\end{matrix}\right] \right)}}{3} = 1$$
$$x_{2} - x_{3} = 0$$
$$2 x_{2} + x_{3} = 3$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 1$$
$$x_{2} - x_{3} = 0$$
$$2 x_{2} + x_{3} = 3$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2} + 2 x_{3}\\0 x_{1} + x_{2} - x_{3}\\0 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\0\\3\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2\\0 & 1 & -1\\0 & 2 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 3$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2\\0 & 1 & -1\\3 & 2 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{3} = -2$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2\\0 & 0 & -1\\0 & 3 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{3} = 1$$
$$x_{3} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 2 & 3\end{matrix}\right] \right)}}{3} = 1$$
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$2 x_{3} + \left(x_{1} + x_{2}\right) = 1$$
$$x_{2} - x_{3} = 0$$
$$2 x_{2} + x_{3} = 3$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 1$$
$$x_{2} - x_{3} = 0$$
$$2 x_{2} + x_{3} = 3$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1\\0 & 1 & -1 & 0\\0 & 2 & 1 & 3\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 + 1 & -1 + 1 & 2 - -1 & \left(-1\right) 0 + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 1\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 1\\0 & 1 & -1 & 0\\0 & 2 & 1 & 3\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- 0 \cdot 2 & \left(-1\right) 2 + 2 & 1 - - 2 & 3 - 0 \cdot 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & 3\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 1\\0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 3 & 3\end{matrix}\right]$$
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}3\\-1\\3\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & 3\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 + 1 & \left(-1\right) 0 & \left(-1\right) 3 + 3 & \left(-1\right) 3 + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -2\\0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 3 & 3\end{matrix}\right]$$
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-1\right) 0}{3} & 1 - \frac{\left(-1\right) 0}{3} & -1 - \frac{\left(-1\right) 3}{3} & - \frac{\left(-1\right) 3}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -2\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 3 & 3\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} + 2 = 0$$
$$x_{2} - 1 = 0$$
$$3 x_{3} - 3 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1$$
$$2 x_{3} + \left(x_{1} + x_{2}\right) = 1$$
$$x_{2} - x_{3} = 0$$
$$2 x_{2} + x_{3} = 3$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 1$$
$$x_{2} - x_{3} = 0$$
$$2 x_{2} + x_{3} = 3$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1\\0 & 1 & -1 & 0\\0 & 2 & 1 & 3\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 + 1 & -1 + 1 & 2 - -1 & \left(-1\right) 0 + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 1\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 1\\0 & 1 & -1 & 0\\0 & 2 & 1 & 3\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- 0 \cdot 2 & \left(-1\right) 2 + 2 & 1 - - 2 & 3 - 0 \cdot 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & 3\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 1\\0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 3 & 3\end{matrix}\right]$$
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}3\\-1\\3\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & 3\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 + 1 & \left(-1\right) 0 & \left(-1\right) 3 + 3 & \left(-1\right) 3 + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -2\\0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 3 & 3\end{matrix}\right]$$
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-1\right) 0}{3} & 1 - \frac{\left(-1\right) 0}{3} & -1 - \frac{\left(-1\right) 3}{3} & - \frac{\left(-1\right) 3}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -2\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 3 & 3\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} + 2 = 0$$
$$x_{2} - 1 = 0$$
$$3 x_{3} - 3 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1$$