Sr Examen
x+y=6; x=4
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x + y = 6$$
$$x = 4$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x + y = 6$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = 6 - y$$
$$x = 6 - y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$x = 4$$
Obtenemos:
$$6 - y = 4$$
$$6 - y = 4$$
Pasamos el sumando libre 6 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- y = -6 + 4$$
$$- y = -2$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) y}{-1} = - \frac{2}{-1}$$
$$y = 2$$
Como
$$x = 6 - y$$
entonces
$$x = 6 - 2$$
$$x = 4$$
Respuesta:
$$x = 4$$
$$y = 2$$
$$x + y = 6$$
$$x = 4$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x + y = 6$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = 6 - y$$
$$x = 6 - y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$x = 4$$
Obtenemos:
$$6 - y = 4$$
$$6 - y = 4$$
Pasamos el sumando libre 6 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- y = -6 + 4$$
$$- y = -2$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) y}{-1} = - \frac{2}{-1}$$
$$y = 2$$
Como
$$x = 6 - y$$
entonces
$$x = 6 - 2$$
$$x = 4$$
Respuesta:
$$x = 4$$
$$y = 2$$
Respuesta rápida
$$x_{1} = 4$$
=
$$4$$
=
$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
=
$$4$$
=
4
$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
2
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x + y = 6$$
$$x = 4$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 6$$
$$x = 4$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 6\\1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & \left(-1\right) 0 + 1 & \left(-1\right) 4 + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\\1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{2} - 2 = 0$$
$$x_{1} - 4 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 4$$
$$x + y = 6$$
$$x = 4$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 6$$
$$x = 4$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 6\\1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & \left(-1\right) 0 + 1 & \left(-1\right) 4 + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\\1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{2} - 2 = 0$$
$$x_{1} - 4 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 4$$
Regla de Cramer
$$x + y = 6$$
$$x = 4$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 6$$
$$x = 4$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} + 0 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right] \right)} = -1$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}6 & 1\\4 & 0\end{matrix}\right] \right)} = 4$$
$$x_{2} = - \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 6\\1 & 4\end{matrix}\right] \right)} = 2$$
$$x = 4$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 6$$
$$x = 4$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} + 0 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right] \right)} = -1$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}6 & 1\\4 & 0\end{matrix}\right] \right)} = 4$$
$$x_{2} = - \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 6\\1 & 4\end{matrix}\right] \right)} = 2$$