Sr Examen
1=y+x; 2=x
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$1 = x + y$$
$$2 = x$$
De ecuación 1 expresamos x
$$1 = x + y$$
Pasamos el sumando con la variable x del miembro derecho al izquierdo cambiamos el signo
$$1 - x = y$$
$$1 - x = y$$
Pasamos el sumando libre 1 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- x = y - 1$$
$$- x = y - 1$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de x
$$\frac{\left(-1\right) x}{-1} = \frac{y - 1}{-1}$$
$$x = 1 - y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$2 = x$$
Obtenemos:
$$2 = 1 - y$$
$$2 = 1 - y$$
Pasamos el sumando con la variable y del miembro derecho al izquierdo cambiamos el signo
$$y + 2 = 1$$
$$y + 2 = 1$$
Pasamos el sumando libre 2 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$y = -2 + 1$$
$$y = -1$$
Como
$$x = 1 - y$$
entonces
$$x = 1 - -1$$
$$x = 2$$
Respuesta:
$$x = 2$$
$$y = -1$$
$$1 = x + y$$
$$2 = x$$
De ecuación 1 expresamos x
$$1 = x + y$$
Pasamos el sumando con la variable x del miembro derecho al izquierdo cambiamos el signo
$$1 - x = y$$
$$1 - x = y$$
Pasamos el sumando libre 1 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- x = y - 1$$
$$- x = y - 1$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de x
$$\frac{\left(-1\right) x}{-1} = \frac{y - 1}{-1}$$
$$x = 1 - y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$2 = x$$
Obtenemos:
$$2 = 1 - y$$
$$2 = 1 - y$$
Pasamos el sumando con la variable y del miembro derecho al izquierdo cambiamos el signo
$$y + 2 = 1$$
$$y + 2 = 1$$
Pasamos el sumando libre 2 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$y = -2 + 1$$
$$y = -1$$
Como
$$x = 1 - y$$
entonces
$$x = 1 - -1$$
$$x = 2$$
Respuesta:
$$x = 2$$
$$y = -1$$
Respuesta rápida
$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=
=
$$2$$
=
2
$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=
-1
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$1 = x + y$$
$$2 = x$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$- x - y = -1$$
$$- x = -2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}-1 & -1 & -1\\-1 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 - -1 & -1 + \left(-1\right) 0 & -1 - -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1\\-1 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$- x_{2} - 1 = 0$$
$$2 - x_{1} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 2$$
$$1 = x + y$$
$$2 = x$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$- x - y = -1$$
$$- x = -2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}-1 & -1 & -1\\-1 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 - -1 & -1 + \left(-1\right) 0 & -1 - -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1\\-1 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$- x_{2} - 1 = 0$$
$$2 - x_{1} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 2$$
Regla de Cramer
$$1 = x + y$$
$$2 = x$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$- x - y = -1$$
$$- x = -2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}- x_{1} - x_{2}\\- x_{1} + 0 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-1 & -1\\-1 & 0\end{matrix}\right] \right)} = -1$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-1 & -1\\-2 & 0\end{matrix}\right] \right)} = 2$$
$$x_{2} = - \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-1 & -1\\-1 & -2\end{matrix}\right] \right)} = -1$$
$$2 = x$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$- x - y = -1$$
$$- x = -2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}- x_{1} - x_{2}\\- x_{1} + 0 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-1 & -1\\-1 & 0\end{matrix}\right] \right)} = -1$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-1 & -1\\-2 & 0\end{matrix}\right] \right)} = 2$$
$$x_{2} = - \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-1 & -1\\-1 & -2\end{matrix}\right] \right)} = -1$$