Sr Examen
Solución de sistemas de ecuaciones/
sqrt(2/30)*x+2/sqrt(30)*y+sqrt(12/30)*z=0; 1/sqrt(3)*a+sqrt(2/12)*b-sqrt(1/2)*c=0
sqrt(2/30)*x+2/sqrt(30)*y+sqrt(12/30)*z=0; 1/sqrt(3)*a+sqrt(2/12)*b-sqrt(1/2)*c=0
Solución
Ha introducido
[src]
1 2 _____ ------*x + ------*y + \/ 2/5 *z = 0 ____ ____ \/ 15 \/ 30
$$\sqrt{\frac{2}{5}} z + \left(\frac{x}{\sqrt{15}} + y \frac{2}{\sqrt{30}}\right) = 0$$
a 1 1 ----- + -----*b - -----*c = 0 ___ ___ ___ \/ 3 \/ 6 \/ 2
$$- \frac{c}{\sqrt{2}} + \left(\frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{b}{\sqrt{6}}\right) = 0$$
-sqrt(1/2)*c + a/sqrt(3) + sqrt(1/6)*b = 0
Respuesta rápida
$$b_{1} = - \sqrt{2} a + \sqrt{3} c$$
=
$$- \sqrt{2} a + \sqrt{3} c$$
=
$$x_{1} = - \sqrt{2} y - \sqrt{6} z$$
=
$$- \sqrt{2} y - \sqrt{6} z$$
=
=
$$- \sqrt{2} a + \sqrt{3} c$$
=
1.73205080756888*c - 1.4142135623731*a
$$x_{1} = - \sqrt{2} y - \sqrt{6} z$$
=
$$- \sqrt{2} y - \sqrt{6} z$$
=
-2.44948974278318*z - 1.4142135623731*y
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$\sqrt{\frac{2}{5}} z + \left(\frac{x}{\sqrt{15}} + y \frac{2}{\sqrt{30}}\right) = 0$$
$$- \frac{c}{\sqrt{2}} + \left(\frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{b}{\sqrt{6}}\right) = 0$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$\frac{\sqrt{15} x}{15} + \frac{\sqrt{30} y}{15} + \frac{\sqrt{10} z}{5} = 0$$
$$\frac{\sqrt{3} a}{3} + \frac{\sqrt{6} b}{6} - \frac{\sqrt{2} c}{2} = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{\sqrt{30}}{15} & \frac{\sqrt{10}}{5} & 0\\\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\\frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\\frac{\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\- \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 4 de columna
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{15}}{15}\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{\sqrt{30}}{15} & \frac{\sqrt{10}}{5} & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\\frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\\frac{\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\- \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 4 de columna
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{15}}{15}\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{\sqrt{30}}{15} & \frac{\sqrt{10}}{5} & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$\frac{\sqrt{15} x_{4}}{15} + \frac{\sqrt{30} x_{5}}{15} + \frac{\sqrt{10} x_{6}}{5} = 0$$
$$\frac{\sqrt{3} x_{1}}{3} + \frac{\sqrt{6} x_{2}}{6} - \frac{\sqrt{2} x_{3}}{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{4} = - \sqrt{2} x_{5} - \sqrt{6} x_{6}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2} x_{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} x_{3}}{2}$$
donde x2, x3, x5, x6 - variables libres
$$\sqrt{\frac{2}{5}} z + \left(\frac{x}{\sqrt{15}} + y \frac{2}{\sqrt{30}}\right) = 0$$
$$- \frac{c}{\sqrt{2}} + \left(\frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{b}{\sqrt{6}}\right) = 0$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$\frac{\sqrt{15} x}{15} + \frac{\sqrt{30} y}{15} + \frac{\sqrt{10} z}{5} = 0$$
$$\frac{\sqrt{3} a}{3} + \frac{\sqrt{6} b}{6} - \frac{\sqrt{2} c}{2} = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{\sqrt{30}}{15} & \frac{\sqrt{10}}{5} & 0\\\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\\frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\\frac{\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\- \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 4 de columna
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{15}}{15}\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{\sqrt{30}}{15} & \frac{\sqrt{10}}{5} & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\\frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\\frac{\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\- \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 4 de columna
$$\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{15}}{15}\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{\sqrt{30}}{15} & \frac{\sqrt{10}}{5} & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$\frac{\sqrt{15} x_{4}}{15} + \frac{\sqrt{30} x_{5}}{15} + \frac{\sqrt{10} x_{6}}{5} = 0$$
$$\frac{\sqrt{3} x_{1}}{3} + \frac{\sqrt{6} x_{2}}{6} - \frac{\sqrt{2} x_{3}}{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{4} = - \sqrt{2} x_{5} - \sqrt{6} x_{6}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2} x_{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} x_{3}}{2}$$
donde x2, x3, x5, x6 - variables libres