Sr Examen
x-y=7; x-2y=4
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x - y = 7$$
$$x - 2 y = 4$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x - y = 7$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = y + 7$$
$$x = y + 7$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$x - 2 y = 4$$
Obtenemos:
$$- 2 y + \left(y + 7\right) = 4$$
$$7 - y = 4$$
Pasamos el sumando libre 7 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- y = -7 + 4$$
$$- y = -3$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) y}{-1} = - \frac{3}{-1}$$
$$y = 3$$
Como
$$x = y + 7$$
entonces
$$x = 3 + 7$$
$$x = 10$$
Respuesta:
$$x = 10$$
$$y = 3$$
$$x - y = 7$$
$$x - 2 y = 4$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x - y = 7$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = y + 7$$
$$x = y + 7$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$x - 2 y = 4$$
Obtenemos:
$$- 2 y + \left(y + 7\right) = 4$$
$$7 - y = 4$$
Pasamos el sumando libre 7 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- y = -7 + 4$$
$$- y = -3$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) y}{-1} = - \frac{3}{-1}$$
$$y = 3$$
Como
$$x = y + 7$$
entonces
$$x = 3 + 7$$
$$x = 10$$
Respuesta:
$$x = 10$$
$$y = 3$$
Respuesta rápida
$$x_{1} = 10$$
=
$$10$$
=
$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=
=
$$10$$
=
10
$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=
3
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x - y = 7$$
$$x - 2 y = 4$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x - y = 7$$
$$x - 2 y = 4$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\\1 & -2 & 4\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -2 - -1 & \left(-1\right) 7 + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & -3\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\\0 & -1 & -3\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -3\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 + 1 & -1 - -1 & 7 - -3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\\0 & -1 & -3\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 10 = 0$$
$$3 - x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = 3$$
$$x - y = 7$$
$$x - 2 y = 4$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x - y = 7$$
$$x - 2 y = 4$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\\1 & -2 & 4\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -2 - -1 & \left(-1\right) 7 + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & -3\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\\0 & -1 & -3\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & -3\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 + 1 & -1 - -1 & 7 - -3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\\0 & -1 & -3\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 10 = 0$$
$$3 - x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = 3$$
Regla de Cramer
$$x - y = 7$$
$$x - 2 y = 4$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x - y = 7$$
$$x - 2 y = 4$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - x_{2}\\x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -1\\1 & -2\end{matrix}\right] \right)} = -1$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}7 & -1\\4 & -2\end{matrix}\right] \right)} = 10$$
$$x_{2} = - \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 7\\1 & 4\end{matrix}\right] \right)} = 3$$
$$x - 2 y = 4$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x - y = 7$$
$$x - 2 y = 4$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - x_{2}\\x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -1\\1 & -2\end{matrix}\right] \right)} = -1$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}7 & -1\\4 & -2\end{matrix}\right] \right)} = 10$$
$$x_{2} = - \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 7\\1 & 4\end{matrix}\right] \right)} = 3$$