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Solución de sistemas de ecuaciones/ x-y=7; x-2y=4

x-y=7; x-2y=4

v

Gráfico:

interior superior

interior superior

Solución

Ha introducido [src] 
x - y = 7
x−y=7x - y = 7 
x - 2*y = 4
x−2y=4x - 2 y = 4 
x - 2*y = 4
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
x−y=7x - y = 7
x−2y=4x - 2 y = 4

De ecuación 1 expresamos x
x−y=7x - y = 7
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
x=y+7x = y + 7
x=y+7x = y + 7
Ponemos el resultado x en ecuación 2
x−2y=4x - 2 y = 4
Obtenemos:
−2y+(y+7)=4- 2 y + \left(y + 7\right) = 4
7−y=47 - y = 4
Pasamos el sumando libre 7 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
−y=−7+4- y = -7 + 4
−y=−3- y = -3
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
(−1)y−1=−3−1\frac{\left(-1\right) y}{-1} = - \frac{3}{-1}
y=3y = 3
Como
x=y+7x = y + 7
entonces
x=3+7x = 3 + 7
x=10x = 10

Respuesta:
x=10x = 10
y=3y = 3
Respuesta rápida
x1=10x_{1} = 10
=
1010
=
10

y1=3y_{1} = 3
=
33
=
3
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
x−y=7x - y = 7
x−2y=4x - 2 y = 4

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
x−y=7x - y = 7
x−2y=4x - 2 y = 4
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
[1−171−24]\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\\1 & -2 & 4\end{matrix}\right]
En 1 de columna
[11]\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
[1−17]\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\end{matrix}\right]
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
[−1+1−2−−1(−1)7+4]=[0−1−3]\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -2 - -1 & \left(-1\right) 7 + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & -3\end{matrix}\right]
obtenemos
[1−170−1−3]\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\\0 & -1 & -3\end{matrix}\right]
En 2 de columna
[−1−1]\left[\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right]
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
[0−1−3]\left[\begin{matrix}0 & -1 & -3\end{matrix}\right]
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
[(−1)0+1−1−−17−−3]=[1010]\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 + 1 & -1 - -1 & 7 - -3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\end{matrix}\right]
obtenemos
[10100−1−3]\left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\\0 & -1 & -3\end{matrix}\right]

Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
x1−10=0x_{1} - 10 = 0
3−x2=03 - x_{2} = 0
Obtenemos como resultado:
x1=10x_{1} = 10
x2=3x_{2} = 3
Regla de Cramer
x−y=7x - y = 7
x−2y=4x - 2 y = 4

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
x−y=7x - y = 7
x−2y=4x - 2 y = 4
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
[x1−x2x1−2x2]=[74]\left[\begin{matrix}x_{1} - x_{2}\\x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right]
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B

De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:

Como el determinante de la matriz:
A=det⁡([1−11−2])=−1A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -1\\1 & -2\end{matrix}\right] \right)} = -1
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
x1=−det⁡([7−14−2])=10x_{1} = - \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}7 & -1\\4 & -2\end{matrix}\right] \right)} = 10
x2=−det⁡([1714])=3x_{2} = - \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 7\\1 & 4\end{matrix}\right] \right)} = 3
Respuesta numérica [src] 
x1 = 10.0
y1 = 3.0
x1 = 10.0
y1 = 3.0
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