Sr Examen
y=x; y=-x
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$y = x$$
$$y = - x$$
De ecuación 1 expresamos x
$$y = x$$
Pasamos el sumando con la variable x del miembro derecho al izquierdo cambiamos el signo
$$- x + y = 0$$
$$- x + y = 0$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- x = - y$$
$$- x = - y$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de x
$$\frac{\left(-1\right) x}{-1} = \frac{\left(-1\right) y}{-1}$$
$$x = y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$y = - x$$
Obtenemos:
$$y = - y$$
$$y = - y$$
Pasamos el sumando con la variable y del miembro derecho al izquierdo cambiamos el signo
$$y + y = 0$$
$$2 y = 0$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$$
$$y = 0$$
Como
$$x = y$$
entonces
$$x = 0$$
$$x = 0$$
Respuesta:
$$x = 0$$
$$y = 0$$
$$y = x$$
$$y = - x$$
De ecuación 1 expresamos x
$$y = x$$
Pasamos el sumando con la variable x del miembro derecho al izquierdo cambiamos el signo
$$- x + y = 0$$
$$- x + y = 0$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- x = - y$$
$$- x = - y$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de x
$$\frac{\left(-1\right) x}{-1} = \frac{\left(-1\right) y}{-1}$$
$$x = y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$y = - x$$
Obtenemos:
$$y = - y$$
$$y = - y$$
Pasamos el sumando con la variable y del miembro derecho al izquierdo cambiamos el signo
$$y + y = 0$$
$$2 y = 0$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$$
$$y = 0$$
Como
$$x = y$$
entonces
$$x = 0$$
$$x = 0$$
Respuesta:
$$x = 0$$
$$y = 0$$
Respuesta rápida
$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
$$x_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
=
$$0$$
=
0
$$x_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
0
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$y = x$$
$$y = - x$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$- x + y = 0$$
$$x + y = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0\\1 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - - -1 & 1 - -1 & - \left(-1\right) 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0\\0 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 - \frac{0}{2} & 1 - \frac{2}{2} & - \frac{0}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$- x_{1} = 0$$
$$2 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
$$y = x$$
$$y = - x$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$- x + y = 0$$
$$x + y = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0\\1 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - - -1 & 1 - -1 & - \left(-1\right) 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0\\0 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 - \frac{0}{2} & 1 - \frac{2}{2} & - \frac{0}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$- x_{1} = 0$$
$$2 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
Regla de Cramer
$$y = x$$
$$y = - x$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$- x + y = 0$$
$$x + y = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}- x_{1} + x_{2}\\x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-1 & 1\\1 & 1\end{matrix}\right] \right)} = -2$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}0 & 1\\0 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-1 & 0\\1 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 0$$
$$y = - x$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$- x + y = 0$$
$$x + y = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}- x_{1} + x_{2}\\x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-1 & 1\\1 & 1\end{matrix}\right] \right)} = -2$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}0 & 1\\0 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-1 & 0\\1 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 0$$