Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/(x^2-1)
-
sqrt(3*x)
-
x+1
-
(x+1)/(x-1)
-
Expresiones idénticas
- cosx+2cos^2x- uno
- coseno de x más 2 coseno de al cuadrado x menos 1
- coseno de x más 2 coseno de al cuadrado x menos uno
- cosx+2cos2x-1
- cosx+2cos²x-1
- cosx+2cos en el grado 2x-1
-
Expresiones semejantes
- cosx+2cos^2x+1
- cosx-2cos^2x-1
-
Expresiones con funciones
- cosx
- cosx+x^2
- cosx*1/2cos2x
- cosx+x-2
- cosx*sin^2*5x+e^|x|
- cosx/(x^2+1)
Gráfico de la función y = cosx+2cos^2x-1
Solución
Ha introducido
[src]
2 f(x) = cos(x) + 2*cos (x) - 1
$$f{\left(x \right)} = \left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1$$
f = 2*cos(x)^2 + cos(x) - 1
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 82.7286065445312$$
$$x_{2} = -97.3893724356252$$
$$x_{3} = 9.42477818680547$$
$$x_{4} = -26.1799387799149$$
$$x_{5} = -5.23598775598299$$
$$x_{6} = 65.9734457528689$$
$$x_{7} = 32.4631240870945$$
$$x_{8} = -39867.8579716057$$
$$x_{9} = -78.5398161151012$$
$$x_{10} = -53.4070752795041$$
$$x_{11} = -93.2005820564972$$
$$x_{12} = -40.8407044128941$$
$$x_{13} = 40.8407042778045$$
$$x_{14} = 28.2743338652086$$
$$x_{15} = 26.1799387799149$$
$$x_{16} = -28.2743337200245$$
$$x_{17} = -9.42477812311019$$
$$x_{18} = 19.8967534727354$$
$$x_{19} = 91.1061868116125$$
$$x_{20} = 91.1061868861836$$
$$x_{21} = -47.1238905036874$$
$$x_{22} = 47.1238898268985$$
$$x_{23} = -7.33038285837618$$
$$x_{24} = 24.0855436775217$$
$$x_{25} = -11.5191730631626$$
$$x_{26} = 91.1061869261407$$
$$x_{27} = 68.0678408277789$$
$$x_{28} = 55.5014702134197$$
$$x_{29} = 99.4837673636768$$
$$x_{30} = 36.6519142918809$$
$$x_{31} = 21.9911485973609$$
$$x_{32} = -76.4454212373516$$
$$x_{33} = -24.0855436775217$$
$$x_{34} = -30.3687289847013$$
$$x_{35} = -68.0678408277789$$
$$x_{36} = -70.162235930172$$
$$x_{37} = 61.7846555205993$$
$$x_{38} = 17.8023583703422$$
$$x_{39} = 34.5575190335478$$
$$x_{40} = 80.634211442138$$
$$x_{41} = 38.7463093942741$$
$$x_{42} = 47.1238894268221$$
$$x_{43} = -13.6135681655558$$
$$x_{44} = -32.4631240870945$$
$$x_{45} = -99.4837673636768$$
$$x_{46} = -84.8230014829768$$
$$x_{47} = 57.5958653158129$$
$$x_{48} = -40.8407047547408$$
$$x_{49} = -34.5575189638817$$
$$x_{50} = 59.6902605931502$$
$$x_{51} = 84.8230014287926$$
$$x_{52} = -59.690260457585$$
$$x_{53} = 30.3687289847013$$
$$x_{54} = 3.14159276530697$$
$$x_{55} = -95.2949771588904$$
$$x_{56} = 97.389372486408$$
$$x_{57} = 47.1238897752019$$
$$x_{58} = -17.8023583703422$$
$$x_{59} = 107.86134777325$$
$$x_{60} = -3.14159287255706$$
$$x_{61} = 15.7079634367135$$
$$x_{62} = -65.9734457650482$$
$$x_{63} = -91.1061871711313$$
$$x_{64} = -47.1238900222279$$
$$x_{65} = 11.5191730631626$$
$$x_{66} = -40.8407049942712$$
$$x_{67} = -63.8790506229925$$
$$x_{68} = -61.7846555205993$$
$$x_{69} = 63.8790506229925$$
$$x_{70} = 74.3510261349584$$
$$x_{71} = 91.1061863890352$$
$$x_{72} = 78.5398161904624$$
$$x_{73} = -719.424718069224$$
$$x_{74} = -21.9911485864549$$
$$x_{75} = 3.14159271706432$$
$$x_{76} = 47.1238901206303$$
$$x_{77} = 53.4070753369186$$
$$x_{78} = 3.14159322994749$$
$$x_{79} = -84.8230015251551$$
$$x_{80} = -74.3510261349584$$
$$x_{81} = -51.3126800086333$$
$$x_{82} = -72.256630877064$$
$$x_{83} = 13.6135681655558$$
$$x_{84} = -57.5958653158129$$
$$x_{85} = -19.8967534727354$$
$$x_{86} = 72.2566310277195$$
$$x_{87} = -40.8407044009017$$
$$x_{88} = -55.5014702134197$$
$$x_{89} = -84.8230022421807$$
$$x_{90} = -646.120889088301$$
$$x_{91} = 76.4454212373516$$
$$x_{92} = -15.7079632965016$$
$$x_{93} = -49.2182849062401$$
$$x_{94} = 21.9911485851931$$
$$x_{95} = 3.14159267447126$$
$$x_{96} = 70.162235930172$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 82.7286065445312$$
$$x_{2} = -97.3893724356252$$
$$x_{3} = 9.42477818680547$$
$$x_{4} = -26.1799387799149$$
$$x_{5} = -5.23598775598299$$
$$x_{6} = 65.9734457528689$$
$$x_{7} = 32.4631240870945$$
$$x_{8} = -39867.8579716057$$
$$x_{9} = -78.5398161151012$$
$$x_{10} = -53.4070752795041$$
$$x_{11} = -93.2005820564972$$
$$x_{12} = -40.8407044128941$$
$$x_{13} = 40.8407042778045$$
$$x_{14} = 28.2743338652086$$
$$x_{15} = 26.1799387799149$$
$$x_{16} = -28.2743337200245$$
$$x_{17} = -9.42477812311019$$
$$x_{18} = 19.8967534727354$$
$$x_{19} = 91.1061868116125$$
$$x_{20} = 91.1061868861836$$
$$x_{21} = -47.1238905036874$$
$$x_{22} = 47.1238898268985$$
$$x_{23} = -7.33038285837618$$
$$x_{24} = 24.0855436775217$$
$$x_{25} = -11.5191730631626$$
$$x_{26} = 91.1061869261407$$
$$x_{27} = 68.0678408277789$$
$$x_{28} = 55.5014702134197$$
$$x_{29} = 99.4837673636768$$
$$x_{30} = 36.6519142918809$$
$$x_{31} = 21.9911485973609$$
$$x_{32} = -76.4454212373516$$
$$x_{33} = -24.0855436775217$$
$$x_{34} = -30.3687289847013$$
$$x_{35} = -68.0678408277789$$
$$x_{36} = -70.162235930172$$
$$x_{37} = 61.7846555205993$$
$$x_{38} = 17.8023583703422$$
$$x_{39} = 34.5575190335478$$
$$x_{40} = 80.634211442138$$
$$x_{41} = 38.7463093942741$$
$$x_{42} = 47.1238894268221$$
$$x_{43} = -13.6135681655558$$
$$x_{44} = -32.4631240870945$$
$$x_{45} = -99.4837673636768$$
$$x_{46} = -84.8230014829768$$
$$x_{47} = 57.5958653158129$$
$$x_{48} = -40.8407047547408$$
$$x_{49} = -34.5575189638817$$
$$x_{50} = 59.6902605931502$$
$$x_{51} = 84.8230014287926$$
$$x_{52} = -59.690260457585$$
$$x_{53} = 30.3687289847013$$
$$x_{54} = 3.14159276530697$$
$$x_{55} = -95.2949771588904$$
$$x_{56} = 97.389372486408$$
$$x_{57} = 47.1238897752019$$
$$x_{58} = -17.8023583703422$$
$$x_{59} = 107.86134777325$$
$$x_{60} = -3.14159287255706$$
$$x_{61} = 15.7079634367135$$
$$x_{62} = -65.9734457650482$$
$$x_{63} = -91.1061871711313$$
$$x_{64} = -47.1238900222279$$
$$x_{65} = 11.5191730631626$$
$$x_{66} = -40.8407049942712$$
$$x_{67} = -63.8790506229925$$
$$x_{68} = -61.7846555205993$$
$$x_{69} = 63.8790506229925$$
$$x_{70} = 74.3510261349584$$
$$x_{71} = 91.1061863890352$$
$$x_{72} = 78.5398161904624$$
$$x_{73} = -719.424718069224$$
$$x_{74} = -21.9911485864549$$
$$x_{75} = 3.14159271706432$$
$$x_{76} = 47.1238901206303$$
$$x_{77} = 53.4070753369186$$
$$x_{78} = 3.14159322994749$$
$$x_{79} = -84.8230015251551$$
$$x_{80} = -74.3510261349584$$
$$x_{81} = -51.3126800086333$$
$$x_{82} = -72.256630877064$$
$$x_{83} = 13.6135681655558$$
$$x_{84} = -57.5958653158129$$
$$x_{85} = -19.8967534727354$$
$$x_{86} = 72.2566310277195$$
$$x_{87} = -40.8407044009017$$
$$x_{88} = -55.5014702134197$$
$$x_{89} = -84.8230022421807$$
$$x_{90} = -646.120889088301$$
$$x_{91} = 76.4454212373516$$
$$x_{92} = -15.7079632965016$$
$$x_{93} = -49.2182849062401$$
$$x_{94} = 21.9911485851931$$
$$x_{95} = 3.14159267447126$$
$$x_{96} = 70.162235930172$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}, 0\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}\right] \cup \left[0, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)
/ ____\ / / ____\\ / / ____\\
|\/ 15 | 2| |\/ 15 || | |\/ 15 ||
(-2*atan|------|, -1 + 2*cos |2*atan|------|| + cos|2*atan|------||)
\ 3 / \ \ 3 // \ \ 3 // / ____\ / / ____\\ / / ____\\
|\/ 15 | 2| |\/ 15 || | |\/ 15 ||
(2*atan|------|, -1 + 2*cos |2*atan|------|| + cos|2*atan|------||)
\ 3 / \ \ 3 // \ \ 3 // Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}, 0\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}\right] \cup \left[0, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{12 - \sqrt{129}}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{12 - \sqrt{129}}}{3} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{129} + 12}}{3} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{129} + 12}}{3} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{129} + 12}}{3} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{12 - \sqrt{129}}}{3} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{12 - \sqrt{129}}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{129} + 12}}{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{12 - \sqrt{129}}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{12 - \sqrt{129}}}{3} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{129} + 12}}{3} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{129} + 12}}{3} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{129} + 12}}{3} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{12 - \sqrt{129}}}{3} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{12 - \sqrt{129}}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{129} + 12}}{3} \right)}\right]$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) + 2*cos(x)^2 - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = \left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1$$
- Sí
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = \left(- 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + 1$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = \left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1$$
- Sí
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = \left(- 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + 1$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico