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Forma canónica/ 6xy+8y^2+3sqrt(10)x+5sqrt(10)y-4=0

6xy+8y^2+3sqrt(10)x+5sqrt(10)y-4=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
        2         ____         ____            
-4 + 8*y  + 3*x*\/ 10  + 5*y*\/ 10  + 6*x*y = 0
6xy+310x+8y2+510y−4=06 x y + 3 \sqrt{10} x + 8 y^{2} + 5 \sqrt{10} y - 4 = 0 
6*x*y + 3*sqrt(10)*x + 8*y^2 + 5*sqrt(10)*y - 4 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
6xy+310x+8y2+510y−4=06 x y + 3 \sqrt{10} x + 8 y^{2} + 5 \sqrt{10} y - 4 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=0a_{11} = 0
a12=3a_{12} = 3
a13=3102a_{13} = \frac{3 \sqrt{10}}{2}
a22=8a_{22} = 8
a23=5102a_{23} = \frac{5 \sqrt{10}}{2}
a33=−4a_{33} = -4
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣0338∣\Delta = \left|\begin{matrix}0 & 3\\3 & 8\end{matrix}\right|
Δ=−9\Delta = -9
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
3y0+3102=03 y_{0} + \frac{3 \sqrt{10}}{2} = 0
3x0+8y0+5102=03 x_{0} + 8 y_{0} + \frac{5 \sqrt{10}}{2} = 0
entonces
x0=102x_{0} = \frac{\sqrt{10}}{2}
y0=−102y_{0} = - \frac{\sqrt{10}}{2}
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=310x02+510y02−4a'_{33} = \frac{3 \sqrt{10} x_{0}}{2} + \frac{5 \sqrt{10} y_{0}}{2} - 4
a33′=−9a'_{33} = -9
entonces la ecuación se transformará en
6x′y′+8y′2−9=06 x' y' + 8 y'^{2} - 9 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−43\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4}{3}
entonces
ϕ=−acot⁡(43)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=−35\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{3}{5}
cos⁡(2ϕ)=45\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=31010\cos{\left(\phi \right)} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}
sin⁡(ϕ)=−1010\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{\sqrt{10}}{10}
sustituimos coeficientes
x′=310x~10+10y~10x' = \frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}
y′=−10x~10+310y~10y' = - \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}
entonces la ecuación se transformará de
6x′y′+8y′2−9=06 x' y' + 8 y'^{2} - 9 = 0
en
8(−10x~10+310y~10)2+6(−10x~10+310y~10)(310x~10+10y~10)−9=08 \left(- \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}\right)^{2} + 6 \left(- \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}\right) \left(\frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}\right) - 9 = 0
simplificamos
−x~2+9y~2−9=0- \tilde x^{2} + 9 \tilde y^{2} - 9 = 0
x~2−9y~2+9=0\tilde x^{2} - 9 \tilde y^{2} + 9 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~29−y~21=−1\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{\tilde y^{2}}{1} = -1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
   ____     ____  
 \/ 10   -\/ 10   
(------, --------)
   2        2

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(31010, −1010)\vec e_1 = \left( \frac{3 \sqrt{10}}{10}, \ - \frac{\sqrt{10}}{10}\right)
e⃗2=(1010, 31010)\vec e_2 = \left( \frac{\sqrt{10}}{10}, \ \frac{3 \sqrt{10}}{10}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
6xy+310x+8y2+510y−4=06 x y + 3 \sqrt{10} x + 8 y^{2} + 5 \sqrt{10} y - 4 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=0a_{11} = 0
a12=3a_{12} = 3
a13=3102a_{13} = \frac{3 \sqrt{10}}{2}
a22=8a_{22} = 8
a23=5102a_{23} = \frac{5 \sqrt{10}}{2}
a33=−4a_{33} = -4
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=8I_{1} = 8
     |0  3|
I2 = |    |
     |3  8|

I3=∣03310238510231025102−4∣I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & 3 & \frac{3 \sqrt{10}}{2}\\3 & 8 & \frac{5 \sqrt{10}}{2}\\\frac{3 \sqrt{10}}{2} & \frac{5 \sqrt{10}}{2} & -4\end{matrix}\right|
I(λ)=∣−λ338−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & 3\\3 & 8 - \lambda\end{matrix}\right|
     |              ____|   |              ____|
     |          3*\/ 10 |   |          5*\/ 10 |
     |   0      --------|   |   8      --------|
     |             2    |   |             2    |
K2 = |                  | + |                  |
     |    ____          |   |    ____          |
     |3*\/ 10           |   |5*\/ 10           |
     |--------     -4   |   |--------     -4   |
     |   2              |   |   2              |

I1=8I_{1} = 8
I2=−9I_{2} = -9
I3=81I_{3} = 81
I(λ)=λ2−8λ−9I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 8 \lambda - 9
K2=−117K_{2} = -117
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−8λ−9=0\lambda^{2} - 8 \lambda - 9 = 0
λ1=9\lambda_{1} = 9
λ2=−1\lambda_{2} = -1
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
9x~2−y~2−9=09 \tilde x^{2} - \tilde y^{2} - 9 = 0
x~21−y~29=1\frac{\tilde x^{2}}{1} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = 1
- está reducida a la forma canónica
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