Sr Examen
6xy+8y^2+3sqrt(10)x+5sqrt(10)y-4=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 ____ ____ -4 + 8*y + 3*x*\/ 10 + 5*y*\/ 10 + 6*x*y = 0
$$6 x y + 3 \sqrt{10} x + 8 y^{2} + 5 \sqrt{10} y - 4 = 0$$
6*x*y + 3*sqrt(10)*x + 8*y^2 + 5*sqrt(10)*y - 4 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$6 x y + 3 \sqrt{10} x + 8 y^{2} + 5 \sqrt{10} y - 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 3$$
$$a_{13} = \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$
$$a_{22} = 8$$
$$a_{23} = \frac{5 \sqrt{10}}{2}$$
$$a_{33} = -4$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}0 & 3\\3 & 8\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -9$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$3 y_{0} + \frac{3 \sqrt{10}}{2} = 0$$
$$3 x_{0} + 8 y_{0} + \frac{5 \sqrt{10}}{2} = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$
$$y_{0} = - \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = \frac{3 \sqrt{10} x_{0}}{2} + \frac{5 \sqrt{10} y_{0}}{2} - 4$$
$$a'_{33} = -9$$
entonces la ecuación se transformará en
$$6 x' y' + 8 y'^{2} - 9 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4}{3}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{3}{5}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{\sqrt{10}}{10}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}$$
$$y' = - \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$6 x' y' + 8 y'^{2} - 9 = 0$$
en
$$8 \left(- \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}\right)^{2} + 6 \left(- \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}\right) \left(\frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}\right) - 9 = 0$$
simplificamos
$$- \tilde x^{2} + 9 \tilde y^{2} - 9 = 0$$
$$\tilde x^{2} - 9 \tilde y^{2} + 9 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{\tilde y^{2}}{1} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{3 \sqrt{10}}{10}, \ - \frac{\sqrt{10}}{10}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \frac{\sqrt{10}}{10}, \ \frac{3 \sqrt{10}}{10}\right)$$
$$6 x y + 3 \sqrt{10} x + 8 y^{2} + 5 \sqrt{10} y - 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 3$$
$$a_{13} = \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$
$$a_{22} = 8$$
$$a_{23} = \frac{5 \sqrt{10}}{2}$$
$$a_{33} = -4$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}0 & 3\\3 & 8\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -9$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$3 y_{0} + \frac{3 \sqrt{10}}{2} = 0$$
$$3 x_{0} + 8 y_{0} + \frac{5 \sqrt{10}}{2} = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$
$$y_{0} = - \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = \frac{3 \sqrt{10} x_{0}}{2} + \frac{5 \sqrt{10} y_{0}}{2} - 4$$
$$a'_{33} = -9$$
entonces la ecuación se transformará en
$$6 x' y' + 8 y'^{2} - 9 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4}{3}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{3}{5}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{\sqrt{10}}{10}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}$$
$$y' = - \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$6 x' y' + 8 y'^{2} - 9 = 0$$
en
$$8 \left(- \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}\right)^{2} + 6 \left(- \frac{\sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde y}{10}\right) \left(\frac{3 \sqrt{10} \tilde x}{10} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{10}\right) - 9 = 0$$
simplificamos
$$- \tilde x^{2} + 9 \tilde y^{2} - 9 = 0$$
$$\tilde x^{2} - 9 \tilde y^{2} + 9 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{\tilde y^{2}}{1} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
____ ____ \/ 10 -\/ 10 (------, --------) 2 2
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{3 \sqrt{10}}{10}, \ - \frac{\sqrt{10}}{10}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \frac{\sqrt{10}}{10}, \ \frac{3 \sqrt{10}}{10}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$6 x y + 3 \sqrt{10} x + 8 y^{2} + 5 \sqrt{10} y - 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 3$$
$$a_{13} = \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$
$$a_{22} = 8$$
$$a_{23} = \frac{5 \sqrt{10}}{2}$$
$$a_{33} = -4$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 8$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & 3 & \frac{3 \sqrt{10}}{2}\\3 & 8 & \frac{5 \sqrt{10}}{2}\\\frac{3 \sqrt{10}}{2} & \frac{5 \sqrt{10}}{2} & -4\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & 3\\3 & 8 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 8$$
$$I_{2} = -9$$
$$I_{3} = 81$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 8 \lambda - 9$$
$$K_{2} = -117$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 8 \lambda - 9 = 0$$
$$\lambda_{1} = 9$$
$$\lambda_{2} = -1$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$9 \tilde x^{2} - \tilde y^{2} - 9 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{1} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$6 x y + 3 \sqrt{10} x + 8 y^{2} + 5 \sqrt{10} y - 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 3$$
$$a_{13} = \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$
$$a_{22} = 8$$
$$a_{23} = \frac{5 \sqrt{10}}{2}$$
$$a_{33} = -4$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 8$$
|0 3|
I2 = | |
|3 8|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & 3 & \frac{3 \sqrt{10}}{2}\\3 & 8 & \frac{5 \sqrt{10}}{2}\\\frac{3 \sqrt{10}}{2} & \frac{5 \sqrt{10}}{2} & -4\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & 3\\3 & 8 - \lambda\end{matrix}\right|$$
| ____| | ____|
| 3*\/ 10 | | 5*\/ 10 |
| 0 --------| | 8 --------|
| 2 | | 2 |
K2 = | | + | |
| ____ | | ____ |
|3*\/ 10 | |5*\/ 10 |
|-------- -4 | |-------- -4 |
| 2 | | 2 |$$I_{1} = 8$$
$$I_{2} = -9$$
$$I_{3} = 81$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 8 \lambda - 9$$
$$K_{2} = -117$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 8 \lambda - 9 = 0$$
$$\lambda_{1} = 9$$
$$\lambda_{2} = -1$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$9 \tilde x^{2} - \tilde y^{2} - 9 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{1} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = 1$$
- está reducida a la forma canónica