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Forma canónica/ xx+xy-2yy-3x-15y+27=0

xx+xy-2yy-3x-15y+27=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
      2                   2          
27 + x  - 15*y - 3*x - 2*y  + x*y = 0
x2+xy−3x−2y2−15y+27=0x^{2} + x y - 3 x - 2 y^{2} - 15 y + 27 = 0 
x^2 + x*y - 3*x - 2*y^2 - 15*y + 27 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2+xy−3x−2y2−15y+27=0x^{2} + x y - 3 x - 2 y^{2} - 15 y + 27 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=12a_{12} = \frac{1}{2}
a13=−32a_{13} = - \frac{3}{2}
a22=−2a_{22} = -2
a23=−152a_{23} = - \frac{15}{2}
a33=27a_{33} = 27
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣11212−2∣\Delta = \left|\begin{matrix}1 & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & -2\end{matrix}\right|
Δ=−94\Delta = - \frac{9}{4}
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
x0+y02−32=0x_{0} + \frac{y_{0}}{2} - \frac{3}{2} = 0
x02−2y0−152=0\frac{x_{0}}{2} - 2 y_{0} - \frac{15}{2} = 0
entonces
x0=3x_{0} = 3
y0=−3y_{0} = -3
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−3x02−15y02+27a'_{33} = - \frac{3 x_{0}}{2} - \frac{15 y_{0}}{2} + 27
a33′=45a'_{33} = 45
entonces la ecuación se transformará en
x′2+x′y′−2y′2+45=0x'^{2} + x' y' - 2 y'^{2} + 45 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=3\cot{\left(2 \phi \right)} = 3
entonces
ϕ=acot⁡(3)2\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(3 \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=1010\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{10}}{10}
cos⁡(2ϕ)=31010\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=31020+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=12−31020\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}
sustituimos coeficientes
x′=x~31020+12−y~12−31020x' = \tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}
y′=x~12−31020+y~31020+12y' = \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}
entonces la ecuación se transformará de
x′2+x′y′−2y′2+45=0x'^{2} + x' y' - 2 y'^{2} + 45 = 0
en
−2(x~12−31020+y~31020+12)2+(x~12−31020+y~31020+12)(x~31020+12−y~12−31020)+(x~31020+12−y~12−31020)2+45=0- 2 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right)^{2} + \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}\right) + \left(\tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}\right)^{2} + 45 = 0
simplificamos
−x~22+x~212−3102031020+12+910x~220−6x~y~12−3102031020+12+310x~y~10−910y~220−y~22−y~212−3102031020+12+45=0- \frac{\tilde x^{2}}{2} + \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \frac{9 \sqrt{10} \tilde x^{2}}{20} - 6 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde x \tilde y}{10} - \frac{9 \sqrt{10} \tilde y^{2}}{20} - \frac{\tilde y^{2}}{2} - \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + 45 = 0
−10x~22+x~22+y~22+10y~22−45=0- \frac{\sqrt{10} \tilde x^{2}}{2} + \frac{\tilde x^{2}}{2} + \frac{\tilde y^{2}}{2} + \frac{\sqrt{10} \tilde y^{2}}{2} - 45 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~2451−12+102−y~245112+102=−1\frac{\tilde x^{2}}{45 \frac{1}{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{45 \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} = -1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(3, -3)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(31020+12, 12−31020)\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}, \ \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}\right)
e⃗2=(−12−31020, 31020+12)\vec e_2 = \left( - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}, \ \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2+xy−3x−2y2−15y+27=0x^{2} + x y - 3 x - 2 y^{2} - 15 y + 27 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=12a_{12} = \frac{1}{2}
a13=−32a_{13} = - \frac{3}{2}
a22=−2a_{22} = -2
a23=−152a_{23} = - \frac{15}{2}
a33=27a_{33} = 27
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=−1I_{1} = -1
     | 1   1/2|
I2 = |        |
     |1/2  -2 |

I3=∣112−3212−2−152−32−15227∣I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2}\\\frac{1}{2} & -2 & - \frac{15}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{15}{2} & 27\end{matrix}\right|
I(λ)=∣1−λ1212−λ−2∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & - \lambda - 2\end{matrix}\right|
     | 1    -3/2|   | -2    -15/2|
K2 = |          | + |            |
     |-3/2   27 |   |-15/2   27  |

I1=−1I_{1} = -1
I2=−94I_{2} = - \frac{9}{4}
I3=−4054I_{3} = - \frac{405}{4}
I(λ)=λ2+λ−94I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + \lambda - \frac{9}{4}
K2=−1712K_{2} = - \frac{171}{2}
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2+λ−94=0\lambda^{2} + \lambda - \frac{9}{4} = 0
λ1=−102−12\lambda_{1} = - \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{1}{2}
λ2=−12+102\lambda_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
x~2(−102−12)+y~2(−12+102)+45=0\tilde x^{2} \left(- \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{1}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}\right) + 45 = 0
x~245112+102−y~2451−12+102=1\frac{\tilde x^{2}}{45 \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{45 \frac{1}{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} = 1
- está reducida a la forma canónica
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