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Forma canónica/ 3x^2-8xy+6y^2-8x+4y-3=0

3x^2-8xy+6y^2-8x+4y-3=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
              2            2            
-3 - 8*x + 3*x  + 4*y + 6*y  - 8*x*y = 0
3x2−8xy−8x+6y2+4y−3=03 x^{2} - 8 x y - 8 x + 6 y^{2} + 4 y - 3 = 0 
3*x^2 - 8*x*y - 8*x + 6*y^2 + 4*y - 3 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
3x2−8xy−8x+6y2+4y−3=03 x^{2} - 8 x y - 8 x + 6 y^{2} + 4 y - 3 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=3a_{11} = 3
a12=−4a_{12} = -4
a13=−4a_{13} = -4
a22=6a_{22} = 6
a23=2a_{23} = 2
a33=−3a_{33} = -3
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣3−4−46∣\Delta = \left|\begin{matrix}3 & -4\\-4 & 6\end{matrix}\right|
Δ=2\Delta = 2
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
3x0−4y0−4=03 x_{0} - 4 y_{0} - 4 = 0
−4x0+6y0+2=0- 4 x_{0} + 6 y_{0} + 2 = 0
entonces
x0=8x_{0} = 8
y0=5y_{0} = 5
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−4x0+2y0−3a'_{33} = - 4 x_{0} + 2 y_{0} - 3
a33′=−25a'_{33} = -25
entonces la ecuación se transformará en
3x′2−8x′y′+6y′2−25=03 x'^{2} - 8 x' y' + 6 y'^{2} - 25 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=38\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{8}
entonces
ϕ=acot⁡(38)2\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{8} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=87373\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{8 \sqrt{73}}{73}
cos⁡(2ϕ)=37373\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3 \sqrt{73}}{73}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=373146+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{3 \sqrt{73}}{146} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=12−373146\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{73}}{146}}
sustituimos coeficientes
x′=x~373146+12−y~12−373146x' = \tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{73}}{146} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{73}}{146}}
y′=x~12−373146+y~373146+12y' = \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{73}}{146}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{73}}{146} + \frac{1}{2}}
entonces la ecuación se transformará de
3x′2−8x′y′+6y′2−25=03 x'^{2} - 8 x' y' + 6 y'^{2} - 25 = 0
en
6(x~12−373146+y~373146+12)2−8(x~12−373146+y~373146+12)(x~373146+12−y~12−373146)+3(x~373146+12−y~12−373146)2−25=06 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{73}}{146}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{73}}{146} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 8 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{73}}{146}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{73}}{146} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{73}}{146} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{73}}{146}}\right) + 3 \left(\tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{73}}{146} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{73}}{146}}\right)^{2} - 25 = 0
simplificamos
−8x~212−373146373146+12−973x~2146+9x~22−2473x~y~73+6x~y~12−373146373146+12+973y~2146+8y~212−373146373146+12+9y~22−25=0- 8 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{73}}{146}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{73}}{146} + \frac{1}{2}} - \frac{9 \sqrt{73} \tilde x^{2}}{146} + \frac{9 \tilde x^{2}}{2} - \frac{24 \sqrt{73} \tilde x \tilde y}{73} + 6 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{73}}{146}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{73}}{146} + \frac{1}{2}} + \frac{9 \sqrt{73} \tilde y^{2}}{146} + 8 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{73}}{146}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{73}}{146} + \frac{1}{2}} + \frac{9 \tilde y^{2}}{2} - 25 = 0
−73x~22+9x~22+73y~22+9y~22−25=0- \frac{\sqrt{73} \tilde x^{2}}{2} + \frac{9 \tilde x^{2}}{2} + \frac{\sqrt{73} \tilde y^{2}}{2} + \frac{9 \tilde y^{2}}{2} - 25 = 0
Esta ecuación es una elipsis
               2                          2            
       \tilde x                   \tilde y             
------------------------ + ------------------------ = 1
                       2                          2    
/          1          \    /          1          \     
|---------------------|    |---------------------|     
|     ____________    |    |     ____________    |     
|    /       ____     |    |    /       ____     |     
|   /  9   \/ 73      |    |   /  9   \/ 73      |     
|  /   - - ------ *1/5|    |  /   - + ------ *1/5|     
\\/    2     2        /    \\/    2     2        /

- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(8, 5)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(373146+12, 12−373146)\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{3 \sqrt{73}}{146} + \frac{1}{2}}, \ \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{73}}{146}}\right)
e⃗2=(−12−373146, 373146+12)\vec e_2 = \left( - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{73}}{146}}, \ \sqrt{\frac{3 \sqrt{73}}{146} + \frac{1}{2}}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
3x2−8xy−8x+6y2+4y−3=03 x^{2} - 8 x y - 8 x + 6 y^{2} + 4 y - 3 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=3a_{11} = 3
a12=−4a_{12} = -4
a13=−4a_{13} = -4
a22=6a_{22} = 6
a23=2a_{23} = 2
a33=−3a_{33} = -3
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=9I_{1} = 9
     |3   -4|
I2 = |      |
     |-4  6 |

I3=∣3−4−4−462−42−3∣I_{3} = \left|\begin{matrix}3 & -4 & -4\\-4 & 6 & 2\\-4 & 2 & -3\end{matrix}\right|
I(λ)=∣3−λ−4−46−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}3 - \lambda & -4\\-4 & 6 - \lambda\end{matrix}\right|
     |3   -4|   |6  2 |
K2 = |      | + |     |
     |-4  -3|   |2  -3|

I1=9I_{1} = 9
I2=2I_{2} = 2
I3=−50I_{3} = -50
I(λ)=λ2−9λ+2I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 9 \lambda + 2
K2=−47K_{2} = -47
Como
I2>0∧I1I3<0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−9λ+2=0\lambda^{2} - 9 \lambda + 2 = 0
λ1=92−732\lambda_{1} = \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{73}}{2}
λ2=732+92\lambda_{2} = \frac{\sqrt{73}}{2} + \frac{9}{2}
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
x~2(92−732)+y~2(732+92)−25=0\tilde x^{2} \left(\frac{9}{2} - \frac{\sqrt{73}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{\sqrt{73}}{2} + \frac{9}{2}\right) - 25 = 0
               2                          2            
       \tilde x                   \tilde y             
------------------------ + ------------------------ = 1
                       2                          2    
/          1          \    /          1          \     
|---------------------|    |---------------------|     
|     ____________    |    |     ____________    |     
|    /       ____     |    |    /       ____     |     
|   /  9   \/ 73      |    |   /  9   \/ 73      |     
|  /   - - ------ *1/5|    |  /   - + ------ *1/5|     
\\/    2     2        /    \\/    2     2        /

- está reducida a la forma canónica
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