Sr Examen
x^2-2xy forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} - 2 x y = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = -1$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & -1\\-1 & 0\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -1$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} - y_{0} = 0$$
$$- x_{0} = 0$$
entonces
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 0$$
$$a'_{33} = 0$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} - 2 x' y' = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{1}{2}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}$$
$$y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$x'^{2} - 2 x' y' = 0$$
en
$$- 2 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}\right) + \left(\tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}\right)^{2} = 0$$
simplificamos
$$\frac{\sqrt{5} \tilde x^{2}}{10} + \frac{\tilde x^{2}}{2} + 2 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} - \frac{2 \sqrt{5} \tilde x \tilde y}{5} + 2 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} - 2 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} - \frac{\sqrt{5} \tilde y^{2}}{10} + \frac{\tilde y^{2}}{2} = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{2} + \frac{\sqrt{5} \tilde x^{2}}{2} - \frac{\sqrt{5} \tilde y^{2}}{2} + \frac{\tilde y^{2}}{2} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola degenerada
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)^{2}} = 0$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}, \ \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}\right)$$
$$x^{2} - 2 x y = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = -1$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & -1\\-1 & 0\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -1$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} - y_{0} = 0$$
$$- x_{0} = 0$$
entonces
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 0$$
$$a'_{33} = 0$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} - 2 x' y' = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{1}{2}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}$$
$$y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$x'^{2} - 2 x' y' = 0$$
en
$$- 2 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}\right) + \left(\tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}\right)^{2} = 0$$
simplificamos
$$\frac{\sqrt{5} \tilde x^{2}}{10} + \frac{\tilde x^{2}}{2} + 2 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} - \frac{2 \sqrt{5} \tilde x \tilde y}{5} + 2 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} - 2 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} - \frac{\sqrt{5} \tilde y^{2}}{10} + \frac{\tilde y^{2}}{2} = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{2} + \frac{\sqrt{5} \tilde x^{2}}{2} - \frac{\sqrt{5} \tilde y^{2}}{2} + \frac{\tilde y^{2}}{2} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola degenerada
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)^{2}} = 0$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}, \ \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} - 2 x y = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = -1$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 1$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & -1 & 0\\-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & -1\\-1 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 1$$
$$I_{2} = -1$$
$$I_{3} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - \lambda - 1$$
$$K_{2} = 0$$
Como
$$I_{3} = 0 \wedge I_{2} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola degenerada
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - \lambda - 1 = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)^{2}} = 0$$
- está reducida a la forma canónica
$$x^{2} - 2 x y = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = -1$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 1$$
|1 -1|
I2 = | |
|-1 0 |$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & -1 & 0\\-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & -1\\-1 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
|1 0| |0 0|
K2 = | | + | |
|0 0| |0 0|$$I_{1} = 1$$
$$I_{2} = -1$$
$$I_{3} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - \lambda - 1$$
$$K_{2} = 0$$
Como
$$I_{3} = 0 \wedge I_{2} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola degenerada
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - \lambda - 1 = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)^{2}} = 0$$
- está reducida a la forma canónica