Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: 9x2−18x+y2+2y+1=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=9 a12=0 a13=−9 a22=1 a23=1 a33=1 Calculemos el determinante Δ=a11a12a12a22 o, sustituimos Δ=9001 Δ=9 Como Δ no es igual a 0, entonces hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones a11x0+a12y0+a13=0 a12x0+a22y0+a23=0 sustituimos coeficientes 9x0−9=0 y0+1=0 entonces x0=1 y0=−1 Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y' a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0 donde a33′=a13x0+a23y0+a33 o a33′=−9x0+y0+1 a33′=−9 entonces la ecuación se transformará en 9x′2+y′2−9=0 Esta ecuación es una elipsis
- está reducida a la forma canónica Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(1, -1)
Base de las coordenadas canónicas e1=(1,0) e2=(0,1)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: 9x2−18x+y2+2y+1=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=9 a12=0 a13=−9 a22=1 a23=1 a33=1 Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes: I1=a11+a22
I1=10 I2=9 I3=−81 I(λ)=λ2−10λ+9 K2=−72 Como I2>0∧I1I3<0 entonces por razón de tipos de rectas: esta ecuación tiene el tipo : elipsis Formulamos la ecuación característica para nuestra línea: −I1λ+I2+λ2=0 o λ2−10λ+9=0 λ1=9 λ2=1 entonces la forma canónica de la ecuación será x~2λ1+y~2λ2+I2I3=0 o 9x~2+y~2−9=0