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Forma canónica/ 3/2x^2-5*y^2+3/2*z^2+4*x*y-x*z-4*y*z

3/2x^2-5*y^2+3/2*z^2+4*x*y-x*z-4*y*z forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
            2      2                          
     2   3*x    3*z                           
- 5*y  + ---- + ---- - x*z - 4*y*z + 4*x*y = 0
          2      2
3x22+4xy−xz−5y2−4yz+3z22=0\frac{3 x^{2}}{2} + 4 x y - x z - 5 y^{2} - 4 y z + \frac{3 z^{2}}{2} = 0 
3*x^2/2 + 4*x*y - x*z - 5*y^2 - 4*y*z + 3*z^2/2 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
3x22+4xy−xz−5y2−4yz+3z22=0\frac{3 x^{2}}{2} + 4 x y - x z - 5 y^{2} - 4 y z + \frac{3 z^{2}}{2} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13xz+2a14x+a22y2+2a23yz+2a24y+a33z2+2a34z+a44=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0
donde
a11=32a_{11} = \frac{3}{2}
a12=2a_{12} = 2
a13=−12a_{13} = - \frac{1}{2}
a14=0a_{14} = 0
a22=−5a_{22} = -5
a23=−2a_{23} = -2
a24=0a_{24} = 0
a33=32a_{33} = \frac{3}{2}
a34=0a_{34} = 0
a44=0a_{44} = 0
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22+a33I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}
     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I4=∣a11a12a13a14a12a22a23a24a13a23a33a34a14a24a34a44∣I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a13a12a22−λa23a13a23a33−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

sustituimos coeficientes
I1=−2I_{1} = -2
     |3/2  2 |   |-5  -2 |   |3/2   -1/2|
I2 = |       | + |       | + |          |
     | 2   -5|   |-2  3/2|   |-1/2  3/2 |

I3=∣322−122−5−2−12−232∣I_{3} = \left|\begin{matrix}\frac{3}{2} & 2 & - \frac{1}{2}\\2 & -5 & -2\\- \frac{1}{2} & -2 & \frac{3}{2}\end{matrix}\right|
I4=∣322−1202−5−20−12−23200000∣I_{4} = \left|\begin{matrix}\frac{3}{2} & 2 & - \frac{1}{2} & 0\\2 & -5 & -2 & 0\\- \frac{1}{2} & -2 & \frac{3}{2} & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right|
I(λ)=∣32−λ2−122−λ−5−2−12−232−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}\frac{3}{2} - \lambda & 2 & - \frac{1}{2}\\2 & - \lambda - 5 & -2\\- \frac{1}{2} & -2 & \frac{3}{2} - \lambda\end{matrix}\right|
     |3/2  0|   |-5  0|   |3/2  0|
K2 = |      | + |     | + |      |
     | 0   0|   |0   0|   | 0   0|

     |3/2  2   0|   |-5  -2   0|   |3/2   -1/2  0|
     |          |   |          |   |             |
K3 = | 2   -5  0| + |-2  3/2  0| + |-1/2  3/2   0|
     |          |   |          |   |             |
     | 0   0   0|   |0    0   0|   | 0     0    0|

I1=−2I_{1} = -2
I2=−21I_{2} = -21
I3=−18I_{3} = -18
I4=0I_{4} = 0
I(λ)=−λ3−2λ2+21λ−18I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} - 2 \lambda^{2} + 21 \lambda - 18
K2=0K_{2} = 0
K3=0K_{3} = 0
Como
I3 != 0

entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
−I1λ2+I2λ−I3+λ3=0- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0
o
λ3+2λ2−21λ+18=0\lambda^{3} + 2 \lambda^{2} - 21 \lambda + 18 = 0
λ1=3\lambda_{1} = 3
λ2=1\lambda_{2} = 1
λ3=−6\lambda_{3} = -6
entonces la forma canónica de la ecuación será
(z~2λ3+(x~2λ1+y~2λ2))+I4I3=0\left(\tilde z^{2} \lambda_{3} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right)\right) + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0
3x~2+y~2−6z~2=03 \tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 6 \tilde z^{2} = 0
−z~2(66)2+(x~2(33)2+y~212)=0- \frac{\tilde z^{2}}{\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^{2}} + \left(\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{1^{2}}\right) = 0
es la ecuación para el tipo cono
- está reducida a la forma canónica
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