Sr Examen
4x^2+16y^2-16xy-10sqrt(5)x+35sqrt(5)y=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 ___ ___ 4*x + 16*y - 16*x*y - 10*x*\/ 5 + 35*y*\/ 5 = 0
$$4 x^{2} - 16 x y - 10 \sqrt{5} x + 16 y^{2} + 35 \sqrt{5} y = 0$$
4*x^2 - 16*x*y - 10*sqrt(5)*x + 16*y^2 + 35*sqrt(5)*y = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} - 16 x y - 10 \sqrt{5} x + 16 y^{2} + 35 \sqrt{5} y = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = -8$$
$$a_{13} = - 5 \sqrt{5}$$
$$a_{22} = 16$$
$$a_{23} = \frac{35 \sqrt{5}}{2}$$
$$a_{33} = 0$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & -8\\-8 & 16\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{4}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}$$
$$y' = \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$4 x'^{2} - 16 x' y' - 10 \sqrt{5} x' + 16 y'^{2} + 35 \sqrt{5} y' = 0$$
en
$$16 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 16 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 35 \sqrt{5} \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 4 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 10 \sqrt{5} \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) = 0$$
simplificamos
$$15 \tilde x + 20 \tilde y^{2} + 80 \tilde y = 0$$
Esta ecuación es con línea recta
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{2 \sqrt{5}}{5} + 0 \frac{\sqrt{5}}{5}$$
$$y_{0} = 0 \frac{\sqrt{5}}{5} + 0 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)$$
$$4 x^{2} - 16 x y - 10 \sqrt{5} x + 16 y^{2} + 35 \sqrt{5} y = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = -8$$
$$a_{13} = - 5 \sqrt{5}$$
$$a_{22} = 16$$
$$a_{23} = \frac{35 \sqrt{5}}{2}$$
$$a_{33} = 0$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & -8\\-8 & 16\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{4}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}$$
$$y' = \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$4 x'^{2} - 16 x' y' - 10 \sqrt{5} x' + 16 y'^{2} + 35 \sqrt{5} y' = 0$$
en
$$16 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 16 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 35 \sqrt{5} \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 4 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 10 \sqrt{5} \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) = 0$$
simplificamos
$$15 \tilde x + 20 \tilde y^{2} + 80 \tilde y = 0$$
Esta ecuación es con línea recta
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{2 \sqrt{5}}{5} + 0 \frac{\sqrt{5}}{5}$$
$$y_{0} = 0 \frac{\sqrt{5}}{5} + 0 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} - 16 x y - 10 \sqrt{5} x + 16 y^{2} + 35 \sqrt{5} y = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = -8$$
$$a_{13} = - 5 \sqrt{5}$$
$$a_{22} = 16$$
$$a_{23} = \frac{35 \sqrt{5}}{2}$$
$$a_{33} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 20$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & -8 & - 5 \sqrt{5}\\-8 & 16 & \frac{35 \sqrt{5}}{2}\\- 5 \sqrt{5} & \frac{35 \sqrt{5}}{2} & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & -8\\-8 & 16 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 20$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -1125$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 20 \lambda$$
$$K_{2} = - \frac{6625}{4}$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$15 \tilde x + 20 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = \frac{3 \tilde x}{4}$$
- está reducida a la forma canónica
$$4 x^{2} - 16 x y - 10 \sqrt{5} x + 16 y^{2} + 35 \sqrt{5} y = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = -8$$
$$a_{13} = - 5 \sqrt{5}$$
$$a_{22} = 16$$
$$a_{23} = \frac{35 \sqrt{5}}{2}$$
$$a_{33} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 20$$
|4 -8|
I2 = | |
|-8 16|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & -8 & - 5 \sqrt{5}\\-8 & 16 & \frac{35 \sqrt{5}}{2}\\- 5 \sqrt{5} & \frac{35 \sqrt{5}}{2} & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & -8\\-8 & 16 - \lambda\end{matrix}\right|$$
| ___|
| 35*\/ 5 |
| ___| | 16 --------|
| 4 -5*\/ 5 | | 2 |
K2 = | | + | |
| ___ | | ___ |
|-5*\/ 5 0 | |35*\/ 5 |
|-------- 0 |
| 2 |$$I_{1} = 20$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -1125$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 20 \lambda$$
$$K_{2} = - \frac{6625}{4}$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$15 \tilde x + 20 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = \frac{3 \tilde x}{4}$$
- está reducida a la forma canónica