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Forma canónica/ -8-2*y+4*x+13*x^2+37*y^2+32*x*y=0

-8-2*y+4*x+13*x^2+37*y^2+32*x*y=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                     2       2             
-8 - 2*y + 4*x + 13*x  + 37*y  + 32*x*y = 0
13x2+32xy+4x+37y2−2y−8=013 x^{2} + 32 x y + 4 x + 37 y^{2} - 2 y - 8 = 0 
13*x^2 + 32*x*y + 4*x + 37*y^2 - 2*y - 8 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
13x2+32xy+4x+37y2−2y−8=013 x^{2} + 32 x y + 4 x + 37 y^{2} - 2 y - 8 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=13a_{11} = 13
a12=16a_{12} = 16
a13=2a_{13} = 2
a22=37a_{22} = 37
a23=−1a_{23} = -1
a33=−8a_{33} = -8
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣13161637∣\Delta = \left|\begin{matrix}13 & 16\\16 & 37\end{matrix}\right|
Δ=225\Delta = 225
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
13x0+16y0+2=013 x_{0} + 16 y_{0} + 2 = 0
16x0+37y0−1=016 x_{0} + 37 y_{0} - 1 = 0
entonces
x0=−25x_{0} = - \frac{2}{5}
y0=15y_{0} = \frac{1}{5}
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=2x0−y0−8a'_{33} = 2 x_{0} - y_{0} - 8
a33′=−9a'_{33} = -9
entonces la ecuación se transformará en
13x′2+32x′y′+37y′2−9=013 x'^{2} + 32 x' y' + 37 y'^{2} - 9 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−34\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{3}{4}
entonces
ϕ=−acot⁡(34)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=−45\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4}{5}
cos⁡(2ϕ)=35\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=255\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}
sin⁡(ϕ)=−55\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{\sqrt{5}}{5}
sustituimos coeficientes
x′=25x~5+5y~5x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}
y′=−5x~5+25y~5y' = - \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}
entonces la ecuación se transformará de
13x′2+32x′y′+37y′2−9=013 x'^{2} + 32 x' y' + 37 y'^{2} - 9 = 0
en
37(−5x~5+25y~5)2+32(−5x~5+25y~5)(25x~5+5y~5)+13(25x~5+5y~5)2−9=037 \left(- \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} + 32 \left(- \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 13 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 9 = 0
simplificamos
5x~2+45y~2−9=05 \tilde x^{2} + 45 \tilde y^{2} - 9 = 0
Esta ecuación es una elipsis
        2            2     
\tilde x     \tilde y      
---------- + ---------- = 1
         2            2    
//  ___\\    //  ___\\     
||\/ 5 ||    ||\/ 5 ||     
||-----||    ||-----||     
|\  5  /|    |\  15 /|     
|-------|    |-------|     
\  1/3  /    \  1/3  /

- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-2/5, 1/5)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(255, −55)\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ - \frac{\sqrt{5}}{5}\right)
e⃗2=(55, 255)\vec e_2 = \left( \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
13x2+32xy+4x+37y2−2y−8=013 x^{2} + 32 x y + 4 x + 37 y^{2} - 2 y - 8 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=13a_{11} = 13
a12=16a_{12} = 16
a13=2a_{13} = 2
a22=37a_{22} = 37
a23=−1a_{23} = -1
a33=−8a_{33} = -8
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=50I_{1} = 50
     |13  16|
I2 = |      |
     |16  37|

I3=∣131621637−12−1−8∣I_{3} = \left|\begin{matrix}13 & 16 & 2\\16 & 37 & -1\\2 & -1 & -8\end{matrix}\right|
I(λ)=∣13−λ161637−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}13 - \lambda & 16\\16 & 37 - \lambda\end{matrix}\right|
     |13  2 |   |37  -1|
K2 = |      | + |      |
     |2   -8|   |-1  -8|

I1=50I_{1} = 50
I2=225I_{2} = 225
I3=−2025I_{3} = -2025
I(λ)=λ2−50λ+225I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 50 \lambda + 225
K2=−405K_{2} = -405
Como
I2>0∧I1I3<0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−50λ+225=0\lambda^{2} - 50 \lambda + 225 = 0
λ1=45\lambda_{1} = 45
λ2=5\lambda_{2} = 5
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
45x~2+5y~2−9=045 \tilde x^{2} + 5 \tilde y^{2} - 9 = 0
        2            2     
\tilde x     \tilde y      
---------- + ---------- = 1
         2            2    
//  ___\\    //  ___\\     
||\/ 5 ||    ||\/ 5 ||     
||-----||    ||-----||     
|\  15 /|    |\  5  /|     
|-------|    |-------|     
\  1/3  /    \  1/3  /

- está reducida a la forma canónica
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