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Forma canónica/ 7x^2+4xy+8y^2+8x+14y+5=0

7x^2+4xy+8y^2+8x+14y+5=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
       2            2                   
5 + 7*x  + 8*x + 8*y  + 14*y + 4*x*y = 0
7x2+4xy+8x+8y2+14y+5=07 x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0 
7*x^2 + 4*x*y + 8*x + 8*y^2 + 14*y + 5 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
7x2+4xy+8x+8y2+14y+5=07 x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=7a_{11} = 7
a12=2a_{12} = 2
a13=4a_{13} = 4
a22=8a_{22} = 8
a23=7a_{23} = 7
a33=5a_{33} = 5
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣7228∣\Delta = \left|\begin{matrix}7 & 2\\2 & 8\end{matrix}\right|
Δ=52\Delta = 52
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
7x0+2y0+4=07 x_{0} + 2 y_{0} + 4 = 0
2x0+8y0+7=02 x_{0} + 8 y_{0} + 7 = 0
entonces
x0=−926x_{0} = - \frac{9}{26}
y0=−4152y_{0} = - \frac{41}{52}
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=4x0+7y0+5a'_{33} = 4 x_{0} + 7 y_{0} + 5
a33′=−9952a'_{33} = - \frac{99}{52}
entonces la ecuación se transformará en
7x′2+4x′y′+8y′2−9952=07 x'^{2} + 4 x' y' + 8 y'^{2} - \frac{99}{52} = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−14\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{1}{4}
entonces
ϕ=−acot⁡(14)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{4} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=−41717\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4 \sqrt{17}}{17}
cos⁡(2ϕ)=1717\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{17}}{17}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=1734+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{34} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=−12−1734\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{34}}
sustituimos coeficientes
x′=x~1734+12+y~12−1734x' = \tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{34} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{34}}
y′=−x~12−1734+y~1734+12y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{34}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{34} + \frac{1}{2}}
entonces la ecuación se transformará de
7x′2+4x′y′+8y′2−9952=07 x'^{2} + 4 x' y' + 8 y'^{2} - \frac{99}{52} = 0
en
8(−x~12−1734+y~1734+12)2+4(−x~12−1734+y~1734+12)(x~1734+12+y~12−1734)+7(x~1734+12+y~12−1734)2−9952=08 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{34}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{34} + \frac{1}{2}}\right)^{2} + 4 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{34}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{34} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{34} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{34}}\right) + 7 \left(\tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{34} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{34}}\right)^{2} - \frac{99}{52} = 0
simplificamos
−4x~212−17341734+12−17x~234+15x~22−2x~y~12−17341734+12+417x~y~17+17y~234+4y~212−17341734+12+15y~22−9952=0- 4 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{34}} \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{34} + \frac{1}{2}} - \frac{\sqrt{17} \tilde x^{2}}{34} + \frac{15 \tilde x^{2}}{2} - 2 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{34}} \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{34} + \frac{1}{2}} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde x \tilde y}{17} + \frac{\sqrt{17} \tilde y^{2}}{34} + 4 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{34}} \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{34} + \frac{1}{2}} + \frac{15 \tilde y^{2}}{2} - \frac{99}{52} = 0
−17x~22+15x~22+17y~22+15y~22−9952=0- \frac{\sqrt{17} \tilde x^{2}}{2} + \frac{15 \tilde x^{2}}{2} + \frac{\sqrt{17} \tilde y^{2}}{2} + \frac{15 \tilde y^{2}}{2} - \frac{99}{52} = 0
Esta ecuación es una elipsis
x~2(1214333152−172)2+y~2(1214333172+152)2=1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{2 \sqrt{143}}{33} \sqrt{\frac{15}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{2 \sqrt{143}}{33} \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{15}{2}}}\right)^{2}} = 1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
        -41  
(-9/26, ----)
         52

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1734+12, −12−1734)\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{34} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{34}}\right)
e⃗2=(12−1734, 1734+12)\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{34}}, \ \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{34} + \frac{1}{2}}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
7x2+4xy+8x+8y2+14y+5=07 x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=7a_{11} = 7
a12=2a_{12} = 2
a13=4a_{13} = 4
a22=8a_{22} = 8
a23=7a_{23} = 7
a33=5a_{33} = 5
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=15I_{1} = 15
     |7  2|
I2 = |    |
     |2  8|

I3=∣724287475∣I_{3} = \left|\begin{matrix}7 & 2 & 4\\2 & 8 & 7\\4 & 7 & 5\end{matrix}\right|
I(λ)=∣7−λ228−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}7 - \lambda & 2\\2 & 8 - \lambda\end{matrix}\right|
     |7  4|   |8  7|
K2 = |    | + |    |
     |4  5|   |7  5|

I1=15I_{1} = 15
I2=52I_{2} = 52
I3=−99I_{3} = -99
I(λ)=λ2−15λ+52I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 15 \lambda + 52
K2=10K_{2} = 10
Como
I2>0∧I1I3<0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−15λ+52=0\lambda^{2} - 15 \lambda + 52 = 0
λ1=152−172\lambda_{1} = \frac{15}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}
λ2=172+152\lambda_{2} = \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{15}{2}
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
x~2(152−172)+y~2(172+152)−9952=0\tilde x^{2} \left(\frac{15}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{15}{2}\right) - \frac{99}{52} = 0
x~2(1214333152−172)2+y~2(1214333172+152)2=1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{2 \sqrt{143}}{33} \sqrt{\frac{15}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{2 \sqrt{143}}{33} \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{15}{2}}}\right)^{2}} = 1
- está reducida a la forma canónica
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