Sr Examen
f2(x)=3(x-2)(x-1) forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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f2*x - (-1 + x)*(-6 + 3*x) = 0
$$f_{2} x - \left(x - 1\right) \left(3 x - 6\right) = 0$$
f2*x - (x - 1)*(3*x - 6) = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$f_{2} x - \left(x - 1\right) \left(3 x - 6\right) = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} f_{2} x + 2 a_{13} x + a_{22} f_{2}^{2} + 2 a_{23} f_{2} + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -3$$
$$a_{12} = \frac{1}{2}$$
$$a_{13} = \frac{9}{2}$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = -6$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}-3 & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = - \frac{1}{4}$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} f_{20} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} f_{20} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$\frac{f_{20}}{2} - 3 x_{0} + \frac{9}{2} = 0$$
$$\frac{x_{0}}{2} = 0$$
entonces
$$x_{0} = 0$$
$$f_{20} = -9$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} f2' x' + a_{22} f2'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} f_{20} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = \frac{9 x_{0}}{2} - 6$$
$$a'_{33} = -6$$
entonces la ecuación se transformará en
$$f2' x' - 3 x'^{2} - 6 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = - \tilde f2 \sin{\left(\phi \right)} + \tilde x \cos{\left(\phi \right)}$$
$$f2' = \tilde f2 \cos{\left(\phi \right)} + \tilde x \sin{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = -3$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(3 \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{\sqrt{10}}{10}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde f2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}$$
$$f2' = \tilde f2 \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$f2' x' - 3 x'^{2} - 6 = 0$$
en
$$- 3 \left(\tilde f2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right)^{2} + \left(\tilde f2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde f2 \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}\right) - 6 = 0$$
simplificamos
$$- \frac{3 \tilde f2^{2}}{2} + \tilde f2^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \frac{9 \sqrt{10} \tilde f2^{2}}{20} - 6 \tilde f2 \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde f2 \tilde x}{10} - \frac{3 \tilde x^{2}}{2} - \frac{9 \sqrt{10} \tilde x^{2}}{20} - \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} - 6 = 0$$
$$- \frac{\sqrt{10} \tilde f2^{2}}{2} + \frac{3 \tilde f2^{2}}{2} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} + \frac{\sqrt{10} \tilde x^{2}}{2} + 6 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$- \frac{\tilde f2^{2}}{6 \frac{1}{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} + \frac{\tilde x^{2}}{6 \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}, \ \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right)$$
$$f_{2} x - \left(x - 1\right) \left(3 x - 6\right) = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} f_{2} x + 2 a_{13} x + a_{22} f_{2}^{2} + 2 a_{23} f_{2} + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -3$$
$$a_{12} = \frac{1}{2}$$
$$a_{13} = \frac{9}{2}$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = -6$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}-3 & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = - \frac{1}{4}$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} f_{20} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} f_{20} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$\frac{f_{20}}{2} - 3 x_{0} + \frac{9}{2} = 0$$
$$\frac{x_{0}}{2} = 0$$
entonces
$$x_{0} = 0$$
$$f_{20} = -9$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} f2' x' + a_{22} f2'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} f_{20} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = \frac{9 x_{0}}{2} - 6$$
$$a'_{33} = -6$$
entonces la ecuación se transformará en
$$f2' x' - 3 x'^{2} - 6 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = - \tilde f2 \sin{\left(\phi \right)} + \tilde x \cos{\left(\phi \right)}$$
$$f2' = \tilde f2 \cos{\left(\phi \right)} + \tilde x \sin{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = -3$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(3 \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{\sqrt{10}}{10}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde f2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}$$
$$f2' = \tilde f2 \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$f2' x' - 3 x'^{2} - 6 = 0$$
en
$$- 3 \left(\tilde f2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right)^{2} + \left(\tilde f2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde f2 \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}\right) - 6 = 0$$
simplificamos
$$- \frac{3 \tilde f2^{2}}{2} + \tilde f2^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \frac{9 \sqrt{10} \tilde f2^{2}}{20} - 6 \tilde f2 \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde f2 \tilde x}{10} - \frac{3 \tilde x^{2}}{2} - \frac{9 \sqrt{10} \tilde x^{2}}{20} - \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} - 6 = 0$$
$$- \frac{\sqrt{10} \tilde f2^{2}}{2} + \frac{3 \tilde f2^{2}}{2} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} + \frac{\sqrt{10} \tilde x^{2}}{2} + 6 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$- \frac{\tilde f2^{2}}{6 \frac{1}{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} + \frac{\tilde x^{2}}{6 \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, -9)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}, \ \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$f_{2} x - \left(x - 1\right) \left(3 x - 6\right) = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} f_{2} x + 2 a_{13} x + a_{22} f_{2}^{2} + 2 a_{23} f_{2} + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -3$$
$$a_{12} = \frac{1}{2}$$
$$a_{13} = \frac{9}{2}$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = -6$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -3$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}-3 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2}\\\frac{1}{2} & 0 & 0\\\frac{9}{2} & 0 & -6\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 3 & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = -3$$
$$I_{2} = - \frac{1}{4}$$
$$I_{3} = \frac{3}{2}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 3 \lambda - \frac{1}{4}$$
$$K_{2} = - \frac{9}{4}$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + 3 \lambda - \frac{1}{4} = 0$$
$$\lambda_{1} = - \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{3}{2}$$
$$\lambda_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde f2^{2} \lambda_{2} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde f2^{2} \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}\right) + \tilde x^{2} \left(- \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{3}{2}\right) - 6 = 0$$
$$- \frac{\tilde f2^{2}}{6 \frac{1}{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} + \frac{\tilde x^{2}}{6 \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
$$f_{2} x - \left(x - 1\right) \left(3 x - 6\right) = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} f_{2} x + 2 a_{13} x + a_{22} f_{2}^{2} + 2 a_{23} f_{2} + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -3$$
$$a_{12} = \frac{1}{2}$$
$$a_{13} = \frac{9}{2}$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = -6$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -3$$
|-3 1/2|
I2 = | |
|1/2 0 |$$I_{3} = \left|\begin{matrix}-3 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2}\\\frac{1}{2} & 0 & 0\\\frac{9}{2} & 0 & -6\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 3 & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & - \lambda\end{matrix}\right|$$
|-3 9/2| |0 0 |
K2 = | | + | |
|9/2 -6 | |0 -6|$$I_{1} = -3$$
$$I_{2} = - \frac{1}{4}$$
$$I_{3} = \frac{3}{2}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 3 \lambda - \frac{1}{4}$$
$$K_{2} = - \frac{9}{4}$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + 3 \lambda - \frac{1}{4} = 0$$
$$\lambda_{1} = - \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{3}{2}$$
$$\lambda_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde f2^{2} \lambda_{2} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde f2^{2} \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}\right) + \tilde x^{2} \left(- \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{3}{2}\right) - 6 = 0$$
$$- \frac{\tilde f2^{2}}{6 \frac{1}{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} + \frac{\tilde x^{2}}{6 \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica