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Forma canónica/ 4x^2+16y^2-16xy-10sqrt5*x+35sqrt5*y=0

4x^2+16y^2-16xy-10sqrt5*x+35sqrt5*y=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
   2       2                   ___          ___    
4*x  + 16*y  - 16*x*y - 10*x*\/ 5  + 35*y*\/ 5  = 0
4x2−16xy−105x+16y2+355y=04 x^{2} - 16 x y - 10 \sqrt{5} x + 16 y^{2} + 35 \sqrt{5} y = 0 
4*x^2 - 16*x*y - 10*sqrt(5)*x + 16*y^2 + 35*sqrt(5)*y = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
4x2−16xy−105x+16y2+355y=04 x^{2} - 16 x y - 10 \sqrt{5} x + 16 y^{2} + 35 \sqrt{5} y = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=4a_{11} = 4
a12=−8a_{12} = -8
a13=−55a_{13} = - 5 \sqrt{5}
a22=16a_{22} = 16
a23=3552a_{23} = \frac{35 \sqrt{5}}{2}
a33=0a_{33} = 0
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣4−8−816∣\Delta = \left|\begin{matrix}4 & -8\\-8 & 16\end{matrix}\right|
Δ=0\Delta = 0
Como
Δ\Delta
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=34\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{4}
entonces
ϕ=acot⁡(34)2\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=45\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}
cos⁡(2ϕ)=35\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=255\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}
sin⁡(ϕ)=55\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{5}}{5}
sustituimos coeficientes
x′=25x~5−5y~5x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}
y′=5x~5+25y~5y' = \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}
entonces la ecuación se transformará de
4x′2−16x′y′−105x′+16y′2+355y′=04 x'^{2} - 16 x' y' - 10 \sqrt{5} x' + 16 y'^{2} + 35 \sqrt{5} y' = 0
en
16(5x~5+25y~5)2−16(5x~5+25y~5)(25x~5−5y~5)+355(5x~5+25y~5)+4(25x~5−5y~5)2−105(25x~5−5y~5)=016 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 16 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 35 \sqrt{5} \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 4 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 10 \sqrt{5} \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) = 0
simplificamos
15x~+20y~2+80y~=015 \tilde x + 20 \tilde y^{2} + 80 \tilde y = 0
Esta ecuación es con línea recta
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
x0=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y0=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
x0=0255+055x_{0} = 0 \frac{2 \sqrt{5}}{5} + 0 \frac{\sqrt{5}}{5}
y0=055+0255y_{0} = 0 \frac{\sqrt{5}}{5} + 0 \frac{2 \sqrt{5}}{5}
x0=0x_{0} = 0
y0=0y_{0} = 0
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(255, 55)\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ \frac{\sqrt{5}}{5}\right)
e⃗2=(−55, 255)\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
4x2−16xy−105x+16y2+355y=04 x^{2} - 16 x y - 10 \sqrt{5} x + 16 y^{2} + 35 \sqrt{5} y = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=4a_{11} = 4
a12=−8a_{12} = -8
a13=−55a_{13} = - 5 \sqrt{5}
a22=16a_{22} = 16
a23=3552a_{23} = \frac{35 \sqrt{5}}{2}
a33=0a_{33} = 0
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=20I_{1} = 20
     |4   -8|
I2 = |      |
     |-8  16|

I3=∣4−8−55−8163552−5535520∣I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & -8 & - 5 \sqrt{5}\\-8 & 16 & \frac{35 \sqrt{5}}{2}\\- 5 \sqrt{5} & \frac{35 \sqrt{5}}{2} & 0\end{matrix}\right|
I(λ)=∣4−λ−8−816−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & -8\\-8 & 16 - \lambda\end{matrix}\right|
                            |               ___|
                            |          35*\/ 5 |
     |               ___|   |   16     --------|
     |   4      -5*\/ 5 |   |             2    |
K2 = |                  | + |                  |
     |     ___          |   |     ___          |
     |-5*\/ 5      0    |   |35*\/ 5           |
                            |--------     0    |
                            |   2              |

I1=20I_{1} = 20
I2=0I_{2} = 0
I3=−1125I_{3} = -1125
I(λ)=λ2−20λI{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 20 \lambda
K2=−66254K_{2} = - \frac{6625}{4}
Como
I2=0∧I3≠0I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
I1y~2+2x~−I3I1=0I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0
o
15x~+20y~2=015 \tilde x + 20 \tilde y^{2} = 0
y~2=3x~4\tilde y^{2} = \frac{3 \tilde x}{4}
- está reducida a la forma canónica
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