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Forma canónica/ sqrt(3)x^2-sqrt(3)y^2+2xy-2x-2sqrt(3)y=0

sqrt(3)x^2-sqrt(3)y^2+2xy-2x-2sqrt(3)y=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___  2     ___  2         ___            
-2*x + \/ 3 *x  - \/ 3 *y  - 2*y*\/ 3  + 2*x*y = 0
3x2+2xy−2x−3y2−23y=0\sqrt{3} x^{2} + 2 x y - 2 x - \sqrt{3} y^{2} - 2 \sqrt{3} y = 0 
sqrt(3)*x^2 + 2*x*y - 2*x - sqrt(3)*y^2 - 2*sqrt(3)*y = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
3x2+2xy−2x−3y2−23y=0\sqrt{3} x^{2} + 2 x y - 2 x - \sqrt{3} y^{2} - 2 \sqrt{3} y = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=3a_{11} = \sqrt{3}
a12=1a_{12} = 1
a13=−1a_{13} = -1
a22=−3a_{22} = - \sqrt{3}
a23=−3a_{23} = - \sqrt{3}
a33=0a_{33} = 0
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣311−3∣\Delta = \left|\begin{matrix}\sqrt{3} & 1\\1 & - \sqrt{3}\end{matrix}\right|
Δ=−4\Delta = -4
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
3x0+y0−1=0\sqrt{3} x_{0} + y_{0} - 1 = 0
x0−3y0−3=0x_{0} - \sqrt{3} y_{0} - \sqrt{3} = 0
entonces
x0=32x_{0} = \frac{\sqrt{3}}{2}
y0=−12y_{0} = - \frac{1}{2}
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−x0−3y0a'_{33} = - x_{0} - \sqrt{3} y_{0}
a33′=0a'_{33} = 0
entonces la ecuación se transformará en
3x′2+2x′y′−3y′2=0\sqrt{3} x'^{2} + 2 x' y' - \sqrt{3} y'^{2} = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=3\cot{\left(2 \phi \right)} = \sqrt{3}
entonces
ϕ=π12\phi = \frac{\pi}{12}
sin⁡(2ϕ)=12\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{2}
cos⁡(2ϕ)=32\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=34+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=12−34\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}
sustituimos coeficientes
x′=x~34+12−y~12−34x' = \tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}
y′=x~12−34+y~34+12y' = \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}}
entonces la ecuación se transformará de
3x′2+2x′y′−3y′2=0\sqrt{3} x'^{2} + 2 x' y' - \sqrt{3} y'^{2} = 0
en
−3(x~12−34+y~34+12)2+2(x~12−34+y~34+12)(x~34+12−y~12−34)+3(x~34+12−y~12−34)2=0- \sqrt{3} \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}}\right)^{2} + 2 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}\right) + \sqrt{3} \left(\tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}\right)^{2} = 0
simplificamos
2x~212−3434+12+3x~22−43x~y~12−3434+12+3x~y~−3y~22−2y~212−3434+12=02 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} - 4 \sqrt{3} \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{3} \tilde x \tilde y - \frac{3 \tilde y^{2}}{2} - 2 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}} = 0
2x~2−2y~2=02 \tilde x^{2} - 2 \tilde y^{2} = 0
Esta ecuación es una hipérbola degenerada
x~2(22)2−y~2(22)2=0\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} = 0
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
   ___       
 \/ 3        
(-----, -1/2)
   2

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(34+12, 12−34)\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}}, \ \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}\right)
e⃗2=(−12−34, 34+12)\vec e_2 = \left( - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}, \ \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
3x2+2xy−2x−3y2−23y=0\sqrt{3} x^{2} + 2 x y - 2 x - \sqrt{3} y^{2} - 2 \sqrt{3} y = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=3a_{11} = \sqrt{3}
a12=1a_{12} = 1
a13=−1a_{13} = -1
a22=−3a_{22} = - \sqrt{3}
a23=−3a_{23} = - \sqrt{3}
a33=0a_{33} = 0
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=0I_{1} = 0
     |  ___        |
     |\/ 3     1   |
I2 = |             |
     |          ___|
     |  1    -\/ 3 |

I3=∣31−11−3−3−1−30∣I_{3} = \left|\begin{matrix}\sqrt{3} & 1 & -1\\1 & - \sqrt{3} & - \sqrt{3}\\-1 & - \sqrt{3} & 0\end{matrix}\right|
I(λ)=∣−λ+311−λ−3∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda + \sqrt{3} & 1\\1 & - \lambda - \sqrt{3}\end{matrix}\right|
     |  ___    |   |   ___     ___|
     |\/ 3   -1|   |-\/ 3   -\/ 3 |
K2 = |         | + |              |
     | -1    0 |   |   ___        |
        |-\/ 3     0   |

I1=0I_{1} = 0
I2=−4I_{2} = -4
I3=0I_{3} = 0
I(λ)=λ2−4I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 4
K2=−4K_{2} = -4
Como
I3=0∧I2<0I_{3} = 0 \wedge I_{2} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola degenerada
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−4=0\lambda^{2} - 4 = 0
λ1=−2\lambda_{1} = -2
λ2=2\lambda_{2} = 2
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
−2x~2+2y~2=0- 2 \tilde x^{2} + 2 \tilde y^{2} = 0
x~2(22)2−y~2(22)2=0\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} = 0
- está reducida a la forma canónica
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