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Forma canónica/ 2x^2-2*x*y+y^2-2*x+2*y+2=0

2x^2-2*x*y+y^2-2*x+2*y+2=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
     2                  2            
2 + y  - 2*x + 2*y + 2*x  - 2*x*y = 0
2x2−2xy−2x+y2+2y+2=02 x^{2} - 2 x y - 2 x + y^{2} + 2 y + 2 = 0 
2*x^2 - 2*x*y - 2*x + y^2 + 2*y + 2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
2x2−2xy−2x+y2+2y+2=02 x^{2} - 2 x y - 2 x + y^{2} + 2 y + 2 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=2a_{11} = 2
a12=−1a_{12} = -1
a13=−1a_{13} = -1
a22=1a_{22} = 1
a23=1a_{23} = 1
a33=2a_{33} = 2
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣2−1−11∣\Delta = \left|\begin{matrix}2 & -1\\-1 & 1\end{matrix}\right|
Δ=1\Delta = 1
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
2x0−y0−1=02 x_{0} - y_{0} - 1 = 0
−x0+y0+1=0- x_{0} + y_{0} + 1 = 0
entonces
x0=0x_{0} = 0
y0=−1y_{0} = -1
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−x0+y0+2a'_{33} = - x_{0} + y_{0} + 2
a33′=1a'_{33} = 1
entonces la ecuación se transformará en
2x′2−2x′y′+y′2+1=02 x'^{2} - 2 x' y' + y'^{2} + 1 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−12\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{1}{2}
entonces
ϕ=−acot⁡(12)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=−255\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}
cos⁡(2ϕ)=55\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{5}}{5}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=510+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=−12−510\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}
sustituimos coeficientes
x′=x~510+12+y~12−510x' = \tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}
y′=−x~12−510+y~510+12y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}
entonces la ecuación se transformará de
2x′2−2x′y′+y′2+1=02 x'^{2} - 2 x' y' + y'^{2} + 1 = 0
en
(−x~12−510+y~510+12)2−2(−x~12−510+y~510+12)(x~510+12+y~12−510)+2(x~510+12+y~12−510)2+1=0\left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 2 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} + \tilde y \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}\right) + 2 \left(\tilde x \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}\right)^{2} + 1 = 0
simplificamos
5x~210+2x~212−510510+12+3x~22−25x~y~5+2x~y~12−510510+12−2y~212−510510+12−5y~210+3y~22+1=0\frac{\sqrt{5} \tilde x^{2}}{10} + 2 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} - \frac{2 \sqrt{5} \tilde x \tilde y}{5} + 2 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} - 2 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}} - \frac{\sqrt{5} \tilde y^{2}}{10} + \frac{3 \tilde y^{2}}{2} + 1 = 0
5x~22+3x~22−5y~22+3y~22+1=0\frac{\sqrt{5} \tilde x^{2}}{2} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} - \frac{\sqrt{5} \tilde y^{2}}{2} + \frac{3 \tilde y^{2}}{2} + 1 = 0
Esta ecuación es una elipsis imaginaria
x~2(152+32)2+y~2(132−52)2=−1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)^{2}} = -1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, -1)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(510+12, −12−510)\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}\right)
e⃗2=(12−510, 510+12)\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}}, \ \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
2x2−2xy−2x+y2+2y+2=02 x^{2} - 2 x y - 2 x + y^{2} + 2 y + 2 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=2a_{11} = 2
a12=−1a_{12} = -1
a13=−1a_{13} = -1
a22=1a_{22} = 1
a23=1a_{23} = 1
a33=2a_{33} = 2
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=3I_{1} = 3
     |2   -1|
I2 = |      |
     |-1  1 |

I3=∣2−1−1−111−112∣I_{3} = \left|\begin{matrix}2 & -1 & -1\\-1 & 1 & 1\\-1 & 1 & 2\end{matrix}\right|
I(λ)=∣2−λ−1−11−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}2 - \lambda & -1\\-1 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|
     |2   -1|   |1  1|
K2 = |      | + |    |
     |-1  2 |   |1  2|

I1=3I_{1} = 3
I2=1I_{2} = 1
I3=1I_{3} = 1
I(λ)=λ2−3λ+1I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda + 1
K2=4K_{2} = 4
Como
I2>0∧I1I3>0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} > 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis imaginaria
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−3λ+1=0\lambda^{2} - 3 \lambda + 1 = 0
λ1=32−52\lambda_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
λ2=52+32\lambda_{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
x~2(32−52)+y~2(52+32)+1=0\tilde x^{2} \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right) + 1 = 0
x~2(132−52)2+y~2(152+32)2=−1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}}\right)^{2}} = -1
- está reducida a la forma canónica
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